Cerca de un punto fijo x* donde F(x*) = 0, la dinámica de un sistema no lineal δẋ = F(x*) + J δx + ... puede aproximarse mediante su expansión de Taylor de primer orden: δẋ = J(x*) δx. La matriz jacobiana J tiene entradas J_ij = ∂/∂ evaluadas en x*. Esta linealización es válida solo para perturbaciones δx suficientemente pequeñas y un jacobiano no degenerado (det ).

Jacobiano y modos normales

Los valores propios y los vectores propios de J definen los modos normales. Si J es diagonalizable, una transformación afín δx = P y desacopla las ecuaciones linealizadas en ẏ_i = , donde P es la matriz de vectores propios. Cada modo evoluciona exponencialmente como e^{λ_i t}.

'Cómo llevar a cabo esta nueva subdivisión lo sugiere la estructura de las ecuaciones diferenciales (6). Corresponde en realidad a una transformación afín del sistema de coordenadas x, bien conocida de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales. Se obtiene un nuevo conjunto de ecuaciones para las variables de población transformadas y_i que se expresa así:'

Clasificación de estabilidad

• Re para todo i ⇒ sumidero asintóticamente estable (nodo o foco).
• Re para algún i ⇒ fuente o silla inestable; si los signos son mixtos, silla.
• Valores propios nulos o puramente imaginarios ⇒ caso marginal; se requiere un análisis no lineal o restringido.

Casos degenerados y restricciones del símplex

Si J no es diagonalizable, los bloques de Jordan producen factores polinómicos en t que multiplican a las exponenciales. Bajo organización constante, la dinámica se sitúa en el símplex de concentraciones Σx_i = constante. Un modo puede ser neutro o estar relacionado con la normalización, por lo que la estabilidad debe evaluarse en el subespacio tangente o reducido. Las coordenadas normales hacen explícita la estructura.

Limitaciones

La linealización predice únicamente el comportamiento local. No determina la estabilidad global, los ciclos límite, las bifurcaciones de Hopf, los ciclos heteroclínicos ni los resultados de invasión lejos del punto fijo.