Linéarisation en modes normaux et jacobien

Près d'un point fixe x* où F(x*) = 0, la dynamique d'un système non linéaire δẋ = F(x*) + J δx + ... peut être approchée par son développement de Taylor au premier ordre : δẋ = J(x*) δx. La matrice jacobienne J a pour éléments J_ij = ∂/∂ évalués en x*. Cette linéarisation n'est valable que pour des perturbations δx suffisamment petites et un jacobien non dégénéré (det ).

Jacobien et modes normaux

Les valeurs propres et les vecteurs propres de J définissent les modes normaux. Si J est diagonalisable, une transformation affine δx = P y découple les équations linéarisées en ẏ_i = , où P est la matrice des vecteurs propres. Chaque mode évolue exponentiellement selon e^{λ_i t}.

« La manière d'effectuer cette nouvelle subdivision est suggérée par la structure des équations différentielles (6). Elle correspond en réalité à une transformation affine du système de coordonnées x, bien connue de la théorie des équations différentielles linéaires. On obtient un nouvel ensemble d'équations pour les variables de population transformées y_i qui s'écrit : »

Classification de la stabilité

Re pour tout i ⇒ puits asymptotiquement stable (nœud ou foyer).
Re pour certains i ⇒ source instable ou point selle ; si les signes sont mixtes, point selle.
Valeurs propres nulles ou purement imaginaires ⇒ cas marginal ; une analyse non linéaire ou sous contrainte est nécessaire.

Cas dégénérés et contraintes du simplexe

Si J n'est pas diagonalisable, les blocs de Jordan produisent des facteurs polynomiaux en t multipliant les exponentielles. Sous organisation constante, la dynamique se situe sur le simplexe de concentration Σx_i = constante. Un mode peut être neutre ou lié à la normalisation ; la stabilité doit donc être évaluée sur le sous-espace tangent ou réduit. Les coordonnées normales rendent la structure explicite.

Limites

La linéarisation ne prédit que le comportement local. Elle ne détermine pas la stabilité globale, les cycles limites, les bifurcations de Hopf, les cycles hétéroclines ni les résultats d'invasion loin du point fixe.

Jacobien et modes normaux

Trois portraits de phase illustrant la linéarisation locale : un puits stable avec des trajectoires convergentes, un point selle avec des directions mixtes et une source instable avec des trajectoires divergentes. Les axes des vecteurs propres sont étiquetés avec les valeurs propres λ 1 et λ 2, délimitant le voisinage local autour du point fixe x*.

QUESTION 1

Dans la linéarisation en modes normaux, quel est l'objectif principal de la transformation affine δx = P y lorsque le jacobien est diagonalisable ?

Découpler les équations linéarisées en modes normaux indépendants ẏ_i =

Envoyer le point fixe à l'infini.

Éliminer tous les termes non linéaires.

Faire tourner le système de coordonnées afin que le jacobien devienne symétrique.

QUESTION 2

Pour un système à deux variables avec les fonctions de taux F₁(

) and F₂(

), la matrice jacobienne au point fixe x* est :

[[∂F₁/∂

, ∂F₁/∂

], [∂F₂/∂

, ∂F₂/∂

]] évalués en x*.

[[∂²F₁/∂

, ∂²F₁/∂

], [∂²F₂/∂

, ∂²F₂/∂

]] évalués en x*.

L'inverse de la matrice hessienne de F.

[[F₁, F₂], [∂F₁/∂

, ∂F₂/∂

]] évalués en x*.

QUESTION 3

Si toutes les valeurs propres de J(x*) ont une partie réelle négative, le point fixe est classé comme :

une source.

un puits (asymptotiquement stable).

un point selle.

un centre.

QUESTION 4

Quelle situation ne peut pas être résolue par la linéarisation seule ?

Les valeurs propres sont des conjuguées complexes à partie réelle négative.

Une valeur propre est nulle et le jacobien n'est pas diagonalisable.

Toutes les valeurs propres ont une partie réelle positive.

Toutes les valeurs propres ont une partie réelle négative.

QUESTION 5

Dans un système à organisation constante sur le simplexe de concentration Σx_i = constante, pourquoi une valeur propre de J peut-elle être nulle ?

Parce que le jacobien est toujours singulier.

Parce que le système est toujours instable.

Parce que les fonctions de taux sont linéaires.

Parce que la contrainte du simplexe introduit un mode neutre correspondant à la normalisation globale.