A point fixe de la dynamique mutation–sélection est un vecteur de concentration x* que le flux laisse inchangé. Sur le simplexe de concentration, où les concentrations normalisées somment à un, l'analyse des points fixes distingue trois issues sélectives : la coexistence stable, la sélection darwinienne d'une séquence maîtresse localisée, et la sélection définitive d'une unité intégrée.

L'équation générale de mutation–sélection est

Ici Q_ij est la probabilité que la matrice j produise le mutant i, est le taux de réplication de la matrice j, et Ā est la productivité excédentaire moyenne qui maintient la concentration totale normalisée. À un point fixe x* le membre de gauche s'annule, donc

Sous forme matricielle, il s'agit du problème aux valeurs propres M x* = Ā x*, avec diag(A). Le vecteur propre dominant donne la distribution stationnaire des mutants, et sa valeur propre est la productivité excédentaire moyenne. Ce seul problème aux valeurs propres unifie les cas ci-dessous.

Compétiteurs indépendants :

Lorsque la mutation est désactivée, , et l'équation se réduit à = ( − Ā) . Les points fixes se trouvent sur le simplexe et peuvent être des attracteurs de sommet ou des points de coexistence intérieurs. Lequel est stable dépend du degré de croissance des fonctions de taux, et non pas uniquement de la condition initiale. Un sommet stable signifie une exclusion compétitive ; un point intérieur stable signifie la coexistence de plusieurs types survivants.

Quasi-espèces : équilibre mutation–sélection

Une quasi-espèce est une distribution de mutants étroitement apparentés centrée sur une séquence maîtresse. Ce n'est pas un génotype unique mais le point fixe stable de l'équilibre mutation–sélection. Le vecteur propre de M détermine la distribution stationnaire. La stabilité locale est régie par les modes normaux du jacobien autour de x* : un écart de valeurs propres positif favorise une quasi-espèce localisée et dominée par la séquence maîtresse. Si le taux de mutation dépasse le seuil d'erreur, le point fixe localisé perd sa stabilité et la quasi-espèce stable se délocalise sur de nombreux mutants. Il s'agit d'une perte d'information, et non d'une sélection darwinienne ordinaire.

Taxonomie des points fixes sur le simplexe

• Coexistence stable : un point fixe intérieur avec plusieurs types survivants.
• Sélection darwinienne : un sommet stable ou une séquence maîtresse localisée sous exclusion compétitive.
• Sélection définitive : fixation irréversible d'une unité intégrée qui ne peut pas être envahie par des variants internes.

Hypothèses et limites : organisation constante, action de masse bien mélangée, grandes populations déterministes et paramètres de taux constants. Les populations finies, les compartiments spatiaux, la recombinaison et la catalyse dépendante de la fréquence peuvent déplacer les bassins d'attraction ou introduire des basculements stochastiques entre états localisés et délocalisés.