Les fonctions de croissance hypercycliques ne sont pas arbitraires ; leur architecture catalytique est encodée dans un seul objet compact : la matrice d'exposantsP = (p_ik). Pour un hypercycle à n espèces, P est une matrice n × n d'entiers non négatifs. L'entrée p_ik spécifie l'exposant — ou la molécularité — avec lequel l'espèce k contribue à la fonction de croissance de l'espèce i. Une entrée nulle p_ik = 0 signifie que l'espèce k n'a aucune influence catalytique sur l'espèce i ; une entrée positive indique l'ordre de cette influence.

La matrice est soumise à deux contraintes structurelles qui en font un hypercycle plutôt qu'un réseau catalytique général. Premièrement, la condition d'homogénéité exige que chaque ligne de P ait pour somme le même entier p :

∑_k p_ik = p pour tout i.

Cela signifie que toutes les espèces partagent un même degré de croissance total p. Si une ligne avait une somme différente, les espèces auraient des molécularités différentes et les fonctions de croissance ne seraient pas homogènes d'un seul degré. Deuxièmement, la symétrie cyclique condition exige que P soit invariante sous un réétiquetage cyclique simultané des indices : i → i+1 et k → k+1 (mod n). Par conséquent, p_ik = p_i+1,k+1 (mod n). Cela fait de P une matrice circulante (ou bloc-circulante dans les cas composés), de sorte que le schéma catalytique est identique pour chaque membre, à une rotation près.

Hypercycles élémentaires et composés

La matrice d'exposants classe les hypercycles en deux grandes catégories.

• Hypercycle élémentaire. Le cas cyclique fermé le plus simple a généralement . Chaque fonction de croissance dépend de l'espèce elle-même et de son prédécesseur cyclique immédiat. Pour , la matrice a p_ii = 1 et p_i,i-1 = 1 (indices mod 4), donc chaque ligne a pour somme 2. La matrice est creuse : exactement deux 1 par ligne, toutes les autres entrées étant nulles.
• Hypercycle composé. Une organisation cyclique d'ordre supérieur, par exemple ou plusieurs contributions cycliques non nulles par ligne. Pour et , chaque ligne peut contenir quatre contributions cycliques unitaires, donnant des fonctions de croissance homogènes quartiques tout en conservant la symétrie cyclique. La matrice est plus dense (ou comporte des entrées d'ordre supérieur) mais reste circulante.

Critère de classification : la distinction entre élémentaire et composé se lit à partir de la valeur de p et de la parcimonie ou du schéma de P, et non simplement du nombre d'espèces. Un cycle à quatre membres peut être élémentaire ou composé , selon les exposants catalytiques.

La figure ci-dessous met en contraste les deux types de matrices. Dans les deux panneaux, les sommes des lignes sont annotées, et la clé d'index circulaire indique le réétiquetage cyclique qui laisse P invariante.