Le point fixe central d'un hypercycle peut être certifié asymptotiquement stable sans résoudre le système non linéaire complet, en exhibant une fonction de Lyapunov V(x) qui s'annule à l'équilibre, reste strictement positive partout ailleurs et décroît régulièrement le long de chaque trajectoire que le système peut suivre.

Le critère de Lyapunov

Une fonction V(x) est une fonction de Lyapunov pour le point fixe central x̂ lorsque V(x̂) = 0 et V(x) > 0 pour tout ̂. Si, de plus, V décroît le long des trajectoires (dV/dt < 0), alors toute orbite voisine est attirée vers x̂ et le point fixe est asymptotiquement stable. Le test est qualitatif : seul le signe de la variation importe, pas une solution explicite sous forme close de la dynamique.

Stabilité pour , 3 et 4

Pour les petits hypercycles de dimension , 3 et 4, une fonction de Lyapunov appropriée peut être construite explicitement, et elle prouve que le point fixe central x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ est asymptotiquement stable. Cela complète l'image des modes normaux, dans laquelle l'équilibre change de nature selon la dimension — un foyer pour , un puits spiral pour , un centre pour — et fait passer une description locale à un énoncé de stabilité global.

Hypercycles brisés et sous-systèmes invariants

Si un seul lien catalytique est brisé, le réseau ne se referme plus en un cycle auto-renforcé. Il se partitionne en sous-systèmes globalement invariants: des ensembles d'espèces dont la dynamique ne fuit jamais vers le reste du système. Comme les orbites y sont piégées, chaque sous-système peut être analysé indépendamment.

• arête 2A — une arête dynamique qui transmet l'influence catalytique.
• arête 2B — une arête à point fixe qui se stabilise au repos.
• face 3A — un sous-système bidimensionnel englobant les membres restants.

L'étude de ces objets de dimension inférieure permet de retrouver la stabilité et le comportement de sélection du cycle brisé pièce par pièce, et relie l'analyse de Lyapunov des hypercycles intacts à la décomposition dynamique des hypercycles brisés.