Pour un hypercycle élémentaire à membres, le point fixe intérieur est instable. L'analyse de stabilité linéaire du couplage catalytique cyclique montre que la solution de coexistence stationnaire perd sa stabilité, généralement via une bifurcation de Hopf. Sous organisation constante, l'attracteur à long terme n'est donc pas un point stationnaire mais un cycle limite stable dans le simplexe des concentrations. L'hypercycle persiste sous la forme d'une oscillation périodique cohérente plutôt que d'un équilibre statique des concentrations.

Signification dynamique du cycle limite

Après une perturbation, les trajectoires ne reviennent pas au point fixe intérieur. Elles spiralent plutôt vers l'extérieur ou vers l'intérieur jusqu'à une orbite fermée qui encercle le point intérieur instable. Le point fixe intérieur demeure une solution stationnaire des équations de vitesse, mais il est dynamiquement instable : tout petit déplacement croît jusqu'à l'oscillation. Sur le cycle limite, chaque membre de l'hypercycle a une concentration qui varie périodiquement. Les pics sont déphasés le long du cycle : les maxima se propagent dans l'ordre catalytique 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1. Cela reflète la topologie cyclique du couplage de l'hypercycle.

Caractère borné et organisation cohérente

L'organisation constante confine la dynamique au simplexe, de sorte que l'oscillation est bornée. La concentration totale est conservée ou fixée de l'extérieur, et le système subit une redistribution périodique entre les membres plutôt qu'une croissance illimitée ou une extinction sous des hypothèses idéales. Le cycle limite représente donc un mode cohérent et auto-entretenu d'organisation hypercyclique pour , distinct de la coexistence stationnaire dans les cas de dimension inférieure. Dans un portrait de phase projeté, on voit le point intérieur instable au centre et une courbe fermée attractive autour de lui ; dans un graphique temporel, on voit des maxima périodiques successifs suivant le cycle catalytique.