Dans un hypercycle de dimension n ≥ 5 sous organisation constante, les concentrations évoluent selon les équations élémentaires de l'hypercycle. Le paramètre est la constante de vitesse catalytique de production de l'espèce par son prédécesseur x_i−1 dans l'ordre cyclique → → … → → .

(k_i x_i−1 − Φ), _j k_j x_j x_j−1, , indices modulo n.

Symétrie rotationnelle et sa rupture

Lorsque toutes les constantes de vitesse catalytiques sont égales, = … = , l'hypercycle possède un cycle limite symétrique en onde tournante. Chaque espèce présente une pulsation identique, et les pulsations sont également espacées en phase. L'ensemble du motif tourne autour du cycle catalytique sans changer de forme.

Des constantes de vitesse inégales brisent cette symétrie rotationnelle. L'ordre cyclique des pulsations reste → → … → → , mais la hauteur, la largeur et le déphasage des pulsations deviennent spécifiques à chaque espèce. Une espèce bénéficiant d'un avantage catalytique plus grand atteint une concentration de pic plus élevée. L'ordre des pics suit toujours le cycle catalytique.

Les déphasages révèlent les étapes limitantes

Les différences de phase ne sont pas nécessairement uniformes. Une étape rapide raccourcit le délai entre la pulsation du prédécesseur et celle du produit ; une étape lente l'allonge. La chronologie des pulsations indique donc quelle étape catalytique est relativement limitante. Par exemple, si est grande, la pulsation suit avec un décalage plus court que dans le cas symétrique.

Concentrations moyennées dans le temps

Les concentrations moyennées dans le temps obéissent à ⟨⟩ = ⟨Φ⟩ / k_i+1. Le niveau moyen d'une espèce dépend donc de la constante de vitesse en aval, et non simplement de sa propre hauteur de pic. Un pic élevé peut coexister avec une moyenne temporelle modeste si l'étape catalytique suivante est rapide.

Exemple : hypercycle à cinq membres

Considérons avec . La pulsation a tendance à culminer plus haut et à suivre avec un décalage plus court. Sa moyenne n'est pas simplement proportionnelle à son pic. La relation ⟨⟩ = ⟨Φ⟩ / montre que le niveau moyen de est couplé à la vitesse en aval qui pilote .

Les pulsations restent couplées par Φ et l'organisation constante. Des constantes inégales modulent l'organisation hypercyclique sans détruire sa topologie cyclique.