Analyse des points fixes d'un hypercycle à deux membres

Pour un hypercycle à deux membres sous organisation constante, l'espace d'état est le simplexe des concentrations . Les deux variables et sont les concentrations des membres de l'hypercycle, et la concentration totale c est maintenue constante par un flux de dilution Φ.

Équations de vitesse et point fixe intérieur

Selon la convention standard des vitesses, la dynamique s'écrit et . Ici, Φ est le terme de dilution ou de flux qui maintient la concentration totale c constante. Un point fixe intérieur exige avec , . Cela donne , donc .

En combinant cet équilibre avec la contrainte on obtient l'unique équilibre de coexistence :

et .

Le rapport d'équilibre est . Selon cette convention de vitesse, la constante catalytique effective la plus grande reçoit la part d'équilibre la plus grande.

Points fixes de frontière et hypothèses

Les points fixes de frontière sont , et , . Ce ne sont pas des états de coexistence. Le point fixe intérieur est le point fixe de coexistence pertinent pour l'hypercycle à deux membres. Le calcul suppose des constantes de vitesse positives, une cinétique d'action de masse, un système bien mélangé, et l'absence de mutation, de parasites ou de forçage dépendant du temps.

Réduction algébrique et aperçu de la source

La structure des équations différentielles suggère une transformation affine du système de coordonnées x, bien connue de la théorie des équations différentielles linéaires. On obtient un nouvel ensemble d'équations pour les variables de population transformées qui sépare la contrainte de total constant de la dynamique d'abondance relative. Cette réduction rend l'équilibre et la répartition , transparents.

Exemple concret

Normaliser . Alors et . Si , alors et . De manière équivalente, poser et résoudre pour sa racine non nulle.

À retenir

Au point fixe intérieur, les deux termes de production catalytique équilibrent le flux de dilution commun, donc

; avec

cela donne

, avec un rapport

Simplexe de l'hypercycle à deux membres

Le simplexe des concentrations x 1 + x est représenté par un segment de droite allant de (c,0) à (0,c). Le point fixe intérieur x 1 * = c k 1 /(k 1 + k 2), x 2 * = c k 2 /(k 1 + k 2) se situe sur ce segment et répartit la concentration totale selon les constantes catalytiques ; les coins sont des états de frontière avec un membre absent. Une ligne de phase unidimensionnelle pour x 1 montre l'écoulement vers le point de coexistence, avec un rapport x 1 */x 2 * = k 1 /k 2.

QUESTION 1

Pour un hypercycle à deux membres sous organisation constante, quelle contrainte définit l'espace d'état ?

QUESTION 2

Étant donné et , quelle condition doit être vérifiée à un point fixe intérieur , ?

QUESTION 3

En combinant avec quel point fixe intérieur obtient-on ?

toujours

QUESTION 4

Que signifie le rapport selon la convention de vitesse énoncée ?

Le rapport est indépendant de

La constante catalytique effective la plus grande correspond à la part d'équilibre la plus petite.

Les deux membres ont toujours des concentrations d'équilibre égales.

La constante catalytique effective la plus grande correspond à la part d'équilibre la plus grande.

QUESTION 5

Le passage source suggère d'effectuer la subdivision par une transformation affine du système de coordonnées x en variables de population transformées . Quel est l'objectif principal de cette transformation dans l'analyse des points fixes ?

Elle sépare la contrainte de total constant de la dynamique d'abondance relative.

Elle convertit l'hypercycle déterministe en un modèle stochastique.

Elle force

dans le système transformé.

Elle élimine complètement le flux de dilution Φ.