Di dekat titik tetap x* dengan F(x*) = 0, dinamika sistem nonlinear δẋ = F(x*) + J δx + ... dapat didekati dengan ekspansi Taylor orde pertama: δẋ = J(x*) δx. Matriks Jacobian J memiliki entri J_ij = ∂/∂ yang dievaluasi di x*. Linearisasi ini hanya valid untuk perturbasi δx yang cukup kecil dan Jacobian yang non-degenerate (det ).

Jacobian dan Mode Normal

Nilai eigen dan vektor eigen dari J mendefinisikan mode normal. Jika J dapat didiagonalisasi, transformasi affine δx = P y mendekopel persamaan terlinearisasi menjadi ẏ_i = , dengan P adalah matriks vektor eigen. Setiap mode berkembang secara eksponensial sebagai e^{λ_i t}.

'Cara melakukan subdivisi baru ini disarankan oleh struktur persamaan diferensial (6). Hal ini sebenarnya berkaitan dengan transformasi affine dari sistem koordinat x, yang sudah dikenal dari teori persamaan diferensial linear. Diperoleh himpunan persamaan baru untuk variabel populasi yang ditransformasi y_i yang berbunyi:'

Klasifikasi Stabilitas

• Re untuk semua i ⇒ sink yang stabil asimtotik (node atau fokus).
• Re untuk sebagian i ⇒ source tak stabil atau saddle; jika tandanya campuran, maka saddle.
• Nilai eigen nol atau murni imajiner ⇒ kasus marginal; diperlukan analisis nonlinear atau dengan kendala.

Kasus Degenerate dan Kendala Simplex

Jika J tidak dapat didiagonalisasi, blok Jordan menghasilkan faktor polinomial dalam t yang mengalikan eksponensial. Pada organisasi konstan, dinamika berada pada simpleks konsentrasi Σx_i = konstan. Salah satu mode mungkin netral atau berkaitan dengan normalisasi, sehingga stabilitas harus dinilai pada subruang tangen atau subruang tereduksi. Koordinat normal membuat strukturnya menjadi eksplisit.

Keterbatasan

Linearisasi hanya memprediksi perilaku lokal. Linearisasi tidak dapat menentukan stabilitas global, siklus limit, bifurkasi Hopf, siklus heteroklinik, atau hasil invasi yang jauh dari titik tetap.