Fungsi pertumbuhan hipercyclic tidak bersifat sembarang; arsitektur katalitiknya dikodekan dalam satu objek ringkas: matriks eksponenP = (p_ik). Untuk hipercycle dengan n spesies, P adalah matriks n × n berisi bilangan bulat nonnegatif. Entri p_ik menyatakan eksponen—atau molekularitas—yang dengannya spesies k berkontribusi terhadap fungsi pertumbuhan spesies i. Entri nol p_ik = 0 berarti spesies k tidak memiliki pengaruh katalitik terhadap spesies i; entri positif memberikan orde pengaruh tersebut.

Matriks ini tunduk pada dua kendala struktural yang menjadikannya hipercycle, bukan jaringan katalitik umum. Pertama, kondisi homogenitas mensyaratkan bahwa setiap baris P berjumlah sama dengan bilangan bulat p yang sama:

∑_k p_ik = p untuk semua i.

Ini berarti setiap spesies memiliki derajat pertumbuhan total p yang sama. Jika satu baris berjumlah nilai yang berbeda, spesies tersebut akan memiliki molekularitas yang berbeda, dan fungsi pertumbuhannya tidak akan homogen pada satu derajat. Kedua, simetri siklik mensyaratkan bahwa P invarian terhadap pelabelan ulang siklik indeks secara bersamaan: i → i+1 dan k → k+1 (mod n). Akibatnya p_ik = p_i+1,k+1 (mod n). Ini menjadikan P matriks circulant (atau block-circulant pada kasus compound), sehingga pola katalitiknya identik untuk setiap anggota hingga rotasi.

Hipercycle elementary versus compound

Matriks eksponen mengklasifikasikan hipercycle menjadi dua jenis utama.

• Hipercycle elementary. Kasus siklik tertutup yang paling sederhana biasanya memiliki . Setiap fungsi pertumbuhan bergantung pada spesies itu sendiri dan pendahulu siklik langsungnya. Untuk , matriksnya memiliki p_ii = 1 dan p_i,i-1 = 1 (indeks mod 4), sehingga setiap baris berjumlah 2. Matriksnya sparse: tepat dua angka 1 per baris, dengan semua entri lainnya nol.
• Hipercycle compound. Organisasi siklik tingkat tinggi, misalnya atau beberapa kontribusi siklik tak nol per baris. Untuk dan , setiap baris dapat memuat empat kontribusi siklik satuan, menghasilkan fungsi pertumbuhan homogen kuartik sambil tetap mempertahankan simetri siklik. Matriksnya lebih padat (atau memiliki entri tingkat tinggi) tetapi tetap circulant.

Kriteria klasifikasi: elementary versus compound dibaca dari nilai p dan kerapatan (sparsity) atau pola P, bukan semata dari jumlah spesies. Siklus beranggota empat dapat berupa elementary atau compound , bergantung pada eksponen katalitiknya.

Gambar di bawah ini membandingkan kedua jenis matriks tersebut. Pada kedua panel, jumlah baris diberi anotasi, dan kunci indeks melingkar menandai pelabelan ulang siklik yang membuat P invarian.