In prossimità di un punto fisso x* in cui F(x*) = 0, la dinamica di un sistema non lineare δẋ = F(x*) + J δx + ... può essere approssimata mediante il suo sviluppo di Taylor del primo ordine: δẋ = J(x*) δx. La matrice Jacobiana J ha elementi J_ij = ∂/∂ valutati in x*. Questa linearizzazione è valida solo per perturbazioni δx sufficientemente piccole e per una Jacobiana non degenere (det ).

Jacobiana e modi normali

Gli autovalori e gli autovettori di J definiscono i modi normali. Se J è diagonalizzabile, una trasformazione affine δx = P y disaccoppia le equazioni linearizzate in ẏ_i = , dove P è la matrice degli autovettori. Ogni modo evolve esponenzialmente come e^{λ_i t}.

"Come realizzare questa nuova suddivisione è suggerito dalla struttura delle equazioni differenziali (6). Essa corrisponde in realtà a una trasformazione affine del sistema di coordinate x, ben nota dalla teoria delle equazioni differenziali lineari. Si ottiene un nuovo insieme di equazioni per le variabili di popolazione trasformate y_i che si scrive:"

Classificazione della stabilità

• Re per ogni i ⇒ pozzo asintoticamente stabile (nodo o fuoco).
• Re per qualche i ⇒ sorgente instabile o sella; se i segni sono misti, sella.
• Autovalori nulli o puramente immaginari ⇒ caso marginale; è richiesta un'analisi non lineare o vincolata.

Casi degeneri e vincoli del simplesso

Se J non è diagonalizzabile, i blocchi di Jordan producono fattori polinomiali in t che moltiplicano gli esponenziali. In condizioni di organizzazione costante, la dinamica giace sul simplesso delle concentrazioni Σx_i = costante. Un modo può essere neutro o legato alla normalizzazione, quindi la stabilità va valutata sul sottospazio tangente o ridotto. Le coordinate normali rendono esplicita la struttura.

Limitazioni

La linearizzazione predice solo il comportamento locale. Non determina la stabilità globale, i cicli limite, le biforcazioni di Hopf, i cicli eteroclini o gli esiti di invasione lontano dal punto fisso.