Le funzioni di crescita ipercicliche non sono arbitrarie; la loro architettura catalitica è racchiusa in un unico oggetto compatto: la matrice degli esponentiP = (p_ik). Per un iperciclo con n specie, P è una matrice n × n di numeri interi non negativi. L'elemento p_ik specifica l'esponente—o la molecularità—con cui la specie k contribuisce alla funzione di crescita della specie i. Un elemento nullo p_ik = 0 significa che la specie k non ha alcuna influenza catalitica sulla specie i; un elemento positivo ne indica l'ordine di influenza.

La matrice è soggetta a due vincoli strutturali che la rendono un iperciclo e non una generica rete catalitica. In primo luogo, la condizione di omogeneità richiede che ogni riga di P sommi allo stesso intero p:

∑_k p_ik = p per ogni i.

Ciò significa che ogni specie condivide un grado di crescita totale comune p. Se una riga sommasse a un valore diverso, le specie avrebbero molecularità differenti e le funzioni di crescita non sarebbero omogenee di un unico grado. In secondo luogo, la simmetria ciclica richiede che P sia invariante rispetto a una rietichettatura ciclica simultanea degli indici: i → i+1 e k → k+1 (mod n). Di conseguenza p_ik = p_i+1,k+1 (mod n). Ciò rende P una matrice circolante (o a blocchi circolanti nei casi composti), cosicché il pattern catalitico è identico per ogni membro a meno di rotazione.

Ipercicli elementari e composti

La matrice degli esponenti classifica gli ipercicli in due grandi tipi.

• Iperciclo elementare. Il caso ciclico chiuso più semplice ha di solito . Ogni funzione di crescita dipende dalla specie stessa e dal suo predecessore ciclico immediato. Per , la matrice ha p_ii = 1 e p_i,i-1 = 1 (indici mod 4), quindi ogni riga somma a 2. La matrice è sparsa: esattamente due 1 per riga, con tutti gli altri elementi nulli.
• Iperciclo composto. Un'organizzazione ciclica di ordine superiore, ad esempio oppure molteplici contributi ciclici non nulli per riga. Per e , ogni riga può contenere quattro contributi ciclici unitari, dando funzioni di crescita omogenee di quarto grado pur mantenendo la simmetria ciclica. La matrice è più densa (o ha elementi di ordine superiore) ma rimane circolante.

Criterio di classificazione: elementare o composto si deduce dal valore di p e dalla sparsità o dal pattern di P, non semplicemente dal numero di specie. Un ciclo a quattro membri può essere elementare o composto , a seconda degli esponenti catalitici.

La figura seguente mette a confronto i due tipi di matrice. In entrambi i pannelli sono annotate le somme di riga, e la chiave circolare degli indici evidenzia la rietichettatura ciclica che lascia P invariante.