Analisi dei Punti Fissi di un Iperciclo a Due Elementi
HYC-1979Lesson 8: Acid, Amino, Acids
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Per un iperciclo a due elementi in condizioni di organizzazione costante, lo spazio degli stati Γ¨ il simplesso delle concentrazioni . Le due variabili e sono le concentrazioni dei membri dell'iperciclo, e la concentrazione totale c Γ¨ mantenuta costante da un flusso di diluizione Ξ¦.
Equazioni di VelocitΓ e Punto Fisso Interno
Secondo la convenzione standard sulle velocitΓ di reazione, la dinamica si scrive come e . Qui Ξ¦ Γ¨ il termine di diluizione o flusso che mantiene costante la concentrazione totale c. Un punto fisso interno richiede con , . Questo dΓ , quindi .
Combinando questo bilancio con il vincolo si ottiene l'unico equilibrio di coesistenza:
e .
Il rapporto di equilibrio Γ¨ . Secondo questa convenzione sulle velocitΓ di reazione, la costante catalitica efficace maggiore riceve la quota di equilibrio maggiore.
Punti Fissi di Frontiera e Ipotesi
I punti fissi di frontiera sono , e , . Questi non sono stati di coesistenza. Il punto fisso interno Γ¨ il punto fisso di coesistenza rilevante per l'iperciclo a due elementi. Il calcolo presuppone costanti di velocitΓ positive, cinetica di azione di massa, un sistema ben miscelato e assenza di mutazioni, parassiti o forzanti dipendenti dal tempo.
Riduzione Algebrica e Approfondimento dalla Fonte
La struttura delle equazioni differenziali suggerisce una trasformazione affine del sistema di coordinate x, ben nota dalla teoria delle equazioni differenziali lineari. Si ottiene un nuovo insieme di equazioni per le variabili di popolazione trasformate che separa il vincolo di concentrazione totale costante dalla dinamica delle abbondanze relative. Questa riduzione rende trasparente il bilancio e la partizione , .
Esempio Svolto
Normalizziamo . Allora e . Se , allora e . Equivalentemente, poniamo e risolviamo per la sua radice non nulla.
Concetto chiave
Nel punto fisso interno i due termini di produzione catalitica bilanciano il flusso di diluizione comune, quindi ; insieme a questo dΓ e , con rapporto .
Simplesso dell'Iperciclo a Due Elementi
Il simplesso delle concentrazioni x 1 + x Γ¨ rappresentato come un segmento di retta da (c,0) a (0,c). Il punto fisso interno x 1 * = c k 1 /(k 1 + k 2), x 2 * = c k 2 /(k 1 + k 2) giace su questo segmento e suddivide la concentrazione totale in base alle costanti catalitiche; gli estremi sono stati di frontiera con un membro assente. Una retta di fase monodimensionale per x 1 mostra il flusso verso il punto di coesistenza, con rapporto x 1 */x 2 * = k 1 /k 2.
DOMANDA 1
Per un iperciclo a due elementi in condizioni di organizzazione costante, quale vincolo definisce lo spazio degli stati?
β Corretto!
Corretto. L'organizzazione costante mantiene fissa la concentrazione totale: .
β Errato
Ripensa al significato di concentrazione totale costante: le due concentrazioni sommano a c.
DOMANDA 2
Date e , quale condizione deve valere in un punto fisso interno , ?
β Corretto!
In un punto fisso interno entrambe le parentesi si annullano, quindi .
β Errato
Poniamo con , . Entrambi i termini di produzione devono bilanciare lo stesso flusso di diluizione Ξ¦.
DOMANDA 3
Combinando con si ottiene quale punto fisso interno?
,
, sempre
,
,
β Corretto!
Corretto. Risolvendo le due relazioni lineari si ottiene e .
β Errato
Usiamo in , poi risolviamo per . Secondo questa convenzione, il k maggiore ottiene la quota maggiore.
DOMANDA 4
Cosa implica il rapporto secondo la convenzione sulle velocitΓ di reazione indicata?
Il rapporto Γ¨ indipendente da e .
La costante catalitica efficace maggiore corrisponde alla quota di equilibrio minore.
Entrambi i membri hanno sempre concentrazioni di equilibrio uguali.
La costante catalitica efficace maggiore corrisponde alla quota di equilibrio maggiore.
β Corretto!
Sì. Il rapporto è direttamente proporzionale a , quindi un k maggiore dà una quota di equilibrio maggiore in questa convenzione.
β Errato
Leggi il rapporto: . Se aumenta rispetto a , diventa maggiore rispetto a .
DOMANDA 5
Il passaggio della fonte suggerisce di effettuare la suddivisione mediante una trasformazione affine del sistema di coordinate x in variabili di popolazione trasformate . Qual Γ¨ lo scopo principale di questa trasformazione nell'analisi dei punti fissi?
Separa il vincolo di concentrazione totale costante dalla dinamica delle abbondanze relative.
Converte l'iperciclo deterministico in un modello stocastico.
Impone nel sistema trasformato.
Elimina completamente il flusso di diluizione Ξ¦.
β Corretto!
Corretto. La trasformazione affine riorganizza le variabili in modo che il vincolo di concentrazione totale costante e la dinamica relativa possano essere analizzati separatamente.
β Errato
La trasformazione Γ¨ una riorganizzazione algebrica; aiuta a isolare il vincolo di concentrazione totale costante dalla dinamica delle abbondanze relative, non a rimuovere Ξ¦ o a modificare le costanti cinetiche.
Caso di Studio: Iperciclo a Due Elementi con Forze Catalitiche Diverse
Leggi lo scenario e rispondi alle domande.
Consideriamo un iperciclo a due elementi in condizioni di organizzazione costante con concentrazione totale . Le equazioni di velocitΓ sono e . Supponiamo che le costanti catalitiche siano e .
D
1. Calcola il punto fisso interno di coesistenza (, ) e il rapporto .
Risposta: Usando e con : e . Il rapporto Γ¨ , che Γ¨ uguale a .
D
2. Se viene aumentata a 4.0 mentre rimane 4.0, cosa succede al punto fisso interno e al rapporto di coesistenza?
Risposta: Il punto fisso interno si sposta al punto medio: e . Il rapporto diventa , quindi i due membri coesistono con concentrazioni di equilibrio uguali. I punti fissi di frontiera (c,0) e (0,c) restano invariati; si sposta solo il punto di coesistenza interno.
Come effettuare questa nuova suddivisione Γ¨ suggerito dalla struttura delle equazioni differenziali (6). Essa corrisponde in realtΓ a una trasformazione affine del sistema di coordinate x, ben nota dalla teoria delle equazioni differenziali lineari. Si ottiene un nuovo insieme di equazioni per le variabili di popolazione trasformate che si scrive:
