定常組織ハイパーサイクルおよび選択モデルにおいて、濃度の状態空間は不変な濃度シンプレックス = {xᵢ ≥ 0, Σᵢ xᵢ = c₀} （または Σᵢ xᵢ = 1 に正規化したもの）である。不動点とは、以下に対して ẋᵢ = 0 を満たす定常的な濃度分布である： 、2、…、n。このような点では、各化学種について生産・増幅が分解・希釈・流出と正確に釣り合っている。シンプレックス内での不動点解析では、定常状態を特定し、その安定性を分類することによって選択的結果を比較する。すなわち、頂点や面は純粋状態または縮退状態に対応し、内部点は共存を表し、各点はシンク、サドル、またはソースとなり得る。

不在の化学種が不在のままである限り、境界面は不変である。すなわち、xᵢ = 0 ならば、力学系は xᵢ = 0 を保存する。以下における頂点は したがって、1 つの化学種または連鎖単位が支配する純粋不動点である。ハイパーサイクル系では、そのような頂点はしばしば崩壊した結果や非ハイパーサイクル的な結果を表す。辺および面上の不動点は部分シンプレックスの不動点であり、化学種の部分集合のみが存在する。これらは部分集合間の選択を分析し、欠落メンバーによる侵入を検証するために不可欠である。内部不動点は n 個のメンバーすべてが正であり、共存を表す。ハイパーサイクルでは、対称的な内部点が候補となるコヒーレント状態である。

安定性と選択的結果

不動点だけでは結果は決まらない。局所安定性には線形化が必要である。すなわち、不動点で評価した成分 Jᵢⱼ = ∂ẋᵢ/∂xⱼ をもつヤコビ行列 J である。J の固有値（シンプレックス接空間に制限したもの）は、その点をシンク（関連するすべての固有値が負：近傍の軌道が収束する）、ソース（関連するすべての固有値が正：軌道が発散する）、またはサドル（一部の方向は引き付け、他は反発する）として分類する。大域的結果は、吸引域や境界に沿った流れにも依存する。安定性と吸引域の大きさによって不動点を比較することで、系が排除、部分的共存、または完全なハイパーサイクルの持続を示すかどうかを予測できる。

S における 2 成分の寄生体–宿主系では₂、方程式は次である

、 、 。

この系は S に 2 つの頂点不動点をもつ₂：全寄生体状態（、 ）および全宿主状態（、 ）。寄生体バックグラウンド近傍での線形化は、以下にしきい値を与える ：宿主濃度は次を満たす のとき かつ のとき 。したがって、総濃度と速度比の比が、欠落した宿主が寄生体状態に侵入できるか、それとも寄生体状態がそれを排除するかを決める。これは、不動点解析が局所的な速度の釣り合いを大域的な選択予測に変換する最も単純な例である。