F(x*) = 0 となる固定点 x* の近くでは、非線形系 δẋ = F(x*) + J δx + ... のダイナミクスは、その一次テイラー展開 δẋ = J(x*) δx によって近似できます。ヤコビ行列 J の成分は J_ij = ∂/∂ を x* で評価したものです。この線形化が有効なのは、摂動 δx が十分小さく、ヤコビ行列が非退化（det ）である場合に限られます。

ヤコビ行列と基準モード

ヤコビ行列 J の固有値 と固有ベクトル が基準モードを定義します。J が対角化可能であれば、アフィン変換 δx = P y によって線形化方程式は ẏ_i = へと分離されます。ここで P は固有ベクトルを列に持つ行列です。各モードは e^{λ_i t} として指数的に発展します。

「この新しい分割をどのように実行するかは、微分方程式 (6) の構造によって示唆される。それは実際には、線形微分方程式論でよく知られている x 座標系のアフィン変換に対応している。変換された個体群変数 y_i に関する新しい方程式系が得られ、それは次のように書ける：」

安定性の分類

• Re がすべての i について成立 ⇒ 漸近安定なシンク（ノードまたはフォーカス）。
• Re が一部の i について成立 ⇒ 不安定なソースまたはサドル。符号が混在する場合はサドル。
• 固有値がゼロまたは純虚数 ⇒ 臨界ケース。非線形解析または制約付き解析が必要。

退化ケースとシンプレックス制約

J が対角化できない場合、ジョルダンブロックは指数関数に t の多項式因子を掛けたものを生じさせます。一定組織化の下では、ダイナミクスは濃度シンプレックス Σx_i = 一定の上にあります。1 つのモードが中立あるいは正規化に関連する可能性があるため、安定性は接空間または縮約部分空間で評価すべきです。基準座標を用いると構造が明示的になります。

限界

線形化が予測できるのは局所的な挙動のみです。大域的安定性、リミットサイクル、ホップ分岐、ヘテロクリニックサイクル、あるいは固定点から遠く離れた侵入の結果を決定することはできません。