A 不動点 とは、変異・選択ダイナミクスにおいて変化しない濃度ベクトル x* のことである。正規化された濃度の総和が 1 となる濃度シンプレックス上では、不動点解析によって三つの選択的帰結が区別される。すなわち、安定な共存、局在化したマスター配列のダーウィン的選択、そして統合された単位の一度きりの選択である。

一般的な変異・選択方程式は次のとおりである。

ここで Q_ij はテンプレート j が変異体 iを生成する確率、 はテンプレート jの複製速度、そして Ā は全濃度を正規化された状態に保つ平均超過生産性である。不動点 x* では左辺がゼロとなるので、

行列形式ではこれは固有値問題 M x* = Ā x*となる。ただし diag(A)である。支配的固有ベクトルが定常的な変異体分布を与え、その固有値が平均超過生産性である。この単一の固有値問題が以下の各ケースを統一的に扱う。

独立した競合者：

変異をオフにすると となり、方程式は次に簡約される。 = ( − Ā) 。不動点はシンプレックス上にあり、頂点アトラクタか内部共存点のいずれかである。どちらが安定かは、初期条件だけでなく、速度関数の増殖次数に依存する。安定な頂点は競争的排除を意味し、安定な内部点は複数の生存種の共存を意味する。

準種：変異・選択平衡

準種とは、マスター配列を中心とした近縁の変異体の分布である。単一の遺伝子型ではなく、変異・選択平衡の安定な不動点である。 M の固有ベクトルが定常分布を決定する。局所安定性は x*周りのヤコビアンの基準モードによって支配される。正の固有値ギャップは局在化したマスター支配の準種を促進する。変異率が誤差閾値を超えると、局在化した不動点は安定性を失い、安定な準種は多数の変異体へと非局在化する。これは情報の喪失であり、通常のダーウィン的選択ではない。

シンプレックス上の不動点分類

• 安定な共存：複数の生存種を持つ内部不動点。
• ダーウィン的選択：競争的排除下での安定な頂点、または局在化したマスター配列。
• 一度きりの選択：内部の変異体に侵入されない、統合された単位の不可逆的な固定。

仮定と限界：一定の組織化、よく混合された質量作用、決定論的な大集団、および一定の速度パラメータ。有限集団、空間的な区画、組換え、頻度依存的な触媒作用は、 basin を変化させたり、局在化状態と非局在化状態の間の確率的スイッチングを引き起こしたりする可能性がある。