開いた触媒連鎖 は触媒作用の一方向の流れしか支えません。もし A が B を触媒し、B が C を触媒するなら、情報は前方へ伝播できますが決してフィードバックされません。一定組織の下では、このような連鎖は内部に吸引状態を持たず、その固定点は濃度単体の隅へと移行するため、最終的に最後の成員が支配的になります。システムは共同の協調的機能を持続させる代わりに、 一度きりの 選択を行います。
環の閉鎖：カスケードから超循環へ
環の閉鎖 は、唯一欠けているフィードバック辺 — 末端の成員から最初の成員へ戻る辺 — を加えます。連鎖 A → B → C を閉じることで C → A の触媒リンクが供給され、サイクル A → B → C → A が生じます。これで各化学種は同時に他の化学種の上流にも下流にも位置し、トポロジーはもはや有向直線ではなく、 超循環となります。すなわち、成員が協調的に結合された環状の触媒的配置であり、情報を単に伝達するだけでなく統合することができます。開いた連鎖は線形のカスケードに留まり、閉じた環は超循環になります。
環上の成長関数
単純な n 員超循環では、化学種 i の成長は化学種 i − 1 によって触媒され、添字は n を法として取られます。したがって最初の化学種は最後の化学種によって触媒され、ループが閉じます。結果として得られる成長項は非線形で 二次のであり、xixi−1 の形をとります。一定組織の下では、これらの項は総濃度を一定に保つ希釈/流束項 Φ と釣り合い、相対濃度は単体上で変化します。
形式的には、超循環的成長関数は 指数行列 P によって符号化されます。行 i は、化学種 i の成長関数にどの濃度がどのような冪で現れるかを記録します。環の閉鎖はまさに巡回的な要素 P1,n = 1（巡回的な i, i − 1 ブロックの巻き戻し要素）であり、この要素が超循環を開いた、あるいは分岐した触媒ネットワークから区別します。超循環的成長関数は同次性条件 Σk pik = p を満たし、その指数によって初等的な
ループが閉じているため、システムの定性的挙動は独立に選択された単位の集合ではなく、協調的で情報を統合するものになります。結合された環は、単体の一つの隅を支配へと駆り立てるのではなく、すべての成員のコヒーレントな波状成長を持続できます。
開いた連鎖と閉じた超循環の比較左：開いた触媒連鎖 A → B → C では触媒作用は一方向に進み、破線で示された欠けている C → A 辺によりカスケードは閉じられません。右：同じ三つの成員が環 A → B → C → A に閉じられています。「環の閉鎖」とラベル付けされた実線の C → A 辺がカスケードを超循環へと変換します。付随する指数行列 P は、各化学種がその前任者（mod n）によって触媒され、対角の 1 が自己複製を、巡回的な P1,
