ハイパーサイクルの成長関数は恣意的なものではなく、その触媒構造は一つのコンパクトな対象に符号化されています。それが 指数行列P = (p_ik) です。n 種からなるハイパーサイクルでは、P は非負整数からなる n × n 行列です。要素 p_ik は、種 k が種 i の成長関数に寄与する際の指数（すなわち分子次数）を指定します。要素 p_ik = 0 は種 k が種 i に触媒的影響を与えないことを意味し、正の値はその影響の次数を表します。

この行列は、一般的な触媒ネットワークではなくハイパーサイクルとするための2つの構造的制約を受けます。第一に、 同次性条件 では、P の各行の和が同じ整数 p に等しいことが要求されます。

∑_k p_ik = p（すべての i について）。

これは、すべての種が共通の総成長次数 p を共有することを意味します。もしある行の和が異なれば、種ごとに分子次数が異なることになり、成長関数は単一の次数で同次にはなりません。第二に、 巡回対称性 条件では、添字の同時巡回再ラベル付け i → i+1 および k → k+1 (mod n) に対して P が不変であることが要求されます。したがって p_ik = p_i+1,k+1 (mod n) です。これにより P は巡回行列（複合的な場合はブロック巡回行列）となり、触媒パターンは回転を除いてすべてのメンバーで同一になります。

初等的ハイパーサイクルと複合ハイパーサイクル

指数行列はハイパーサイクルを2つの大きな型に分類します。

• 初等的ハイパーサイクル。 最も単純な閉じた巡回の場合、通常は となります。各成長関数は種自身とその直前の巡回前駆体に依存します。 の場合、行列は p_ii = 1 および p_i,i-1 = 1（添字は mod 4）となり、各行の和は 2 になります。この行列は疎であり、各行にちょうど2つの 1 があり、他の要素はすべて 0 です。
• 複合ハイパーサイクル。 より高次の巡回組織であり、例えば や、各行に複数の非ゼロの巡回寄与がある場合です。 かつ の場合、各行は4つの単位巡回寄与を含むことができ、巡回対称性を保ちながら4次の同次成長関数を与えます。この行列はより密（または高次の要素を持つ）ですが、巡回行列のままです。

分類基準: 初等的か複合的かは、種の数だけでなく、p の値と P の疎性またはパターンから読み取られます。4員環は初等的 または複合的 となり得ます。これは触媒指数に依存します。

以下の図は2つの行列型を対比しています。両方のパネルで行の和が注記され、円形の添字キーは P を不変に保つ巡回再ラベル付けを示しています。