ハイパーサイクルの中心不動点は、次のものを示すことで 漸近安定 であると証明できる。非線形系全体を解く必要はなく、次の リアプノフ関数 V(x) を構成すればよい。これは平衡点でゼロとなり、それ以外のすべての点で厳密に正であり、系がたどりうるあらゆる軌道に沿って単調に減少する。

リアプノフの判定法

関数 V(x) が中心不動点 x̂ のリアプノフ関数となるのは、V(x̂) = 0 かつすべての ̂ に対して V(x) > 0 が成り立つときである。さらに軌道に沿って V が減少するなら (dV/dt < 0)、近傍のすべての軌道は x̂ へ引き寄せられ、この不動点は漸近安定となる。この判定法は定性的であり、重要なのは変化の符号だけであって、ダイナミクスの明示的な閉形式解は必要ない。

次の次元における安定性: 、3、4

次元 、3、4 の小さなハイパーサイクルに対しては、適切なリアプノフ関数を陽に構成でき、中心不動点 x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ が漸近安定であることを証明できる。これは、平衡点の性質が次元によって変化するノーマルモードの描像を補完する — すなわち焦点（ ）、スパイラルシンク（ ）、センター（ ）— であり、局所的な記述を大域的な安定性の命題へと引き上げる。

破れたハイパーサイクルと不変サブシステム

触媒リンクが1本でも破れると、ネットワークはもはや自己強化する単一の閉サイクルを形成しない。代わりに 大域的に不変なサブシステムへと分割される。これは、その力学が系の残りの部分へ決して流出しないような種の集合である。軌道がそれらの内部に閉じ込められるため、各サブシステムは独立に解析できる。

• 2A エッジ — 触媒的影響を伝える流動エッジ。
• 2B エッジ — 静止状態に落ち着く不動点エッジ。
• 3A フェイス — 残りのメンバーにまたがる二次元サブシステム。

これらの低次元の対象を調べることで、破れたサイクルの安定性と選択の振る舞いを一片ずつ復元でき、無傷のハイパーサイクルのリアプノフ解析と、破れたハイパーサイクルの力学的分解とが結びつく。