以下の成員数をもつ基本ハイパーサイクルでは の成員が存在する場合、内部固定点は不安定になります。巡回的な触媒結合の線形安定性解析によれば、定常共存解は通常ホップ分岐を経て安定性を失います。したがって、一定組織化の下では、長期的なアトラクタは定常点ではなく、 安定なリミットサイクル が濃度単体上に現れます。ハイパーサイクルは、濃度の静的な均衡ではなく、コヒーレントな周期的振動として持続します。

リミットサイクルの力学的意味

摂動の後、軌跡は内部固定点へ緩和して戻ることはありません。代わりに、不安定な内部点を取り巻く閉軌道へ外向きまたは内向きにらせん状に近づきます。内部固定点は速度方程式の定常解であり続けますが、力学的には不安定です。小さな変位は振動へと成長します。リミットサイクル上では、各ハイパーサイクル成員の濃度が周期的に変化します。そのピークは サイクルに沿って位相がずれており、極大値は触媒順序 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 で伝播します。これはハイパーサイクル結合の巡回的なトポロジーを反映しています。

有界性とコヒーレントな組織化

一定組織化はダイナミクスを単体上に閉じ込めるため、振動は有界になります。総濃度は保存されるか外部から固定され、理想的な仮定の下では系は無制限な成長や絶滅ではなく、成員間の周期的な再分配を行います。したがってリミットサイクルは、 自己持続的でコヒーレントなハイパーサイクル組織化のモード を 表します。これは低次元の場合の定常共存とは異なります。投影された位相肖像では、中心に不安定な内部点があり、その周囲に引き込み型の閉曲線が見えます。時間プロットでは、触媒サイクルに従う連続的な周期的極大値が見えます。