定常組織化 のもとでは、二員ハイパーサイクルは全濃度を一定に保つため、系全体の状態は 1 つの数、すなわち割合 で表され、 が成り立ちます。2 つの構成員の成長方程式は次のとおりです。

ここで は両方の式から差し引かれる平均超過生産性です。対角成分の定数 と は 自己強化を表し、非対角成分の定数 と は 相互の交差触媒的強化を表します。同じ項 Φ が両方の構成員から差し引かれるため、結果は速度定数の絶対的な大きさではなく、それらの差に依存します。そして、固定点を特定するのと同じ侵入解析によって、あらゆるパラメータ集合が 4 つの結合レジームのいずれかに分類されます。

2 つの侵入の問いがすべてを決める

純粋状態の安定性は、居住構成員のみで構成された集団において、不在の構成員が希少なときに増殖できるかどうかを問うことで決まります。

• 構成員 2 は構成員 1 の純粋状態に侵入できるか? できるのはちょうど次のときです: 。
• 構成員 1 は構成員 2 の純粋状態に侵入できるか? できるのはちょうど次のときです: 。

各問いにははい/いいえの答えがあるため、この 2 つの問いの組み合わせはちょうど 4 つのケース、すなわち表 17 の 4 つの結合レジームを生み出します。

表 17: 4 つの結合レジーム

計算例

次のようにとります: かつ とします。すると と となるので、レジームは相互ハイパーサイクル安定化です。各構成員が相手の純粋状態に侵入でき、両端は不安定で、内部固定点が吸引的になります。その位置は釣り合い条件 から得られ、 となります。培養を または から開始しても、やはり 2 分の 1 に緩和します。次に数値を入れ替えて と とします。不等式が反転し、どちらの構成員も相手に侵入できなくなり、2 つの純粋状態が安定となり、レジームは競争になります。そして同じ内部点が、どちらの端点に到達するかを分けるだけの不安定分離線になります。

積分せずにレジームを読み取る

であるため、2 次元系は 1 次元に縮約され、2 つの端点の固有値はちょうど上記の 2 つの侵入不等式に帰着します。したがって、パラメータ集合の分類には 2 回の比較だけで済み、数値積分もシミュレーションも不要です。内部点が安定となるのは相互安定化レジームにおいてのみであり、他の 3 つでは不安定です。同じ考え方は 3 員および n 員サイクルにも拡張できます(表 18)。そこでは各構成員が、他の構成員が形成する群集に侵入できるかどうかで検証され、巡回対称性により結果は個々のペアではなく、速度係数行列全体の性質となります。