항상 조직화(constant-organization) 하이퍼사이클 및 선택 모델에서 농도의 상태 공간은 불변 농도 심플렉스 = {xᵢ ≥ 0, Σᵢ xᵢ = c₀} (또는 Σᵢ xᵢ = 1로 정규화된 버전)입니다. 고정점은 다음에 대해 ẋᵢ = 0을 만족하는 정상 농도 분포입니다: , 2, ..., n. 이러한 점에서 생산/증폭은 모든 종에 대해 분해, 희석 및 유출과 정확히 균형을 이룹니다. 심플렉스에서의 고정점 분석은 정상 상태를 찾고 그 안정성을 분류함으로써 선택적 결과를 비교합니다: 꼭짓점과 면은 순수 또는 축소 상태에 해당하고, 내부 점은 공존을 나타내며, 각 점은 싱크(sink), 안장(saddle) 또는 소스(source)가 될 수 있습니다.

경계면은 부재하는 종이 계속 부재할 때마다 불변합니다: xᵢ = 0이면 동역학은 xᵢ = 0을 유지합니다. 의 꼭짓점은 따라서 하나의 종 또는 연결된 단위가 지배하는 순수 고정점입니다. 하이퍼사이클 시스템에서 이러한 꼭짓점은 종종 붕괴되거나 비하이퍼사이클적 결과를 나타냅니다. 모서리 및 면 고정점은 일부 종만 존재하는 부분 심플렉스의 고정점입니다. 이들은 부분집합 간의 선택을 분석하고 누락된 구성원에 의한 침입을 테스트하는 데 필수적입니다. 내부 고정점은 n개의 모든 구성원이 양수이며 공존을 나타냅니다. 하이퍼사이클의 경우 대칭 내부 점이 일관된 상태의 후보입니다.

안정성과 선택적 결과

고정점만으로는 결과를 결정할 수 없습니다. 국소 안정성은 선형화를 필요로 합니다: 고정점에서 평가된 Jᵢⱼ = ∂ẋᵢ/∂xⱼ 항목을 가진 야코비 행렬 J입니다. J의 고유값(심플렉스 접선 공간으로 제한됨)은 그 점을 싱크(관련된 모든 고유값이 음수: 근처 궤적이 수렴), 소스(관련된 모든 고유값이 양수: 궤적이 발산), 또는 안장(일부 방향은 끌어들이고 다른 방향은 밀어냄)으로 분류합니다. 전역적 결과는 또한 끌개 영역과 경계를 따른 흐름에 따라 달라집니다. 안정성과 끌개 영역 크기로 고정점을 비교하면 시스템이 배제, 부분 공존 또는 완전한 하이퍼사이클 지속성을 보이는지 예측할 수 있습니다.

S₂에서의 2성분 기생체–숙주 시스템의 방정식은 다음과 같습니다:

, , .

이 시스템은 S₂에서 두 개의 꼭짓점 고정점을 가집니다: 전체 기생체 상태(, )와 전체 숙주 상태(, ). 기생체 배경 근처에서의 선형화는 다음에서 임계값을 제공합니다: : 숙주 농도는 다음을 만족합니다: 다음일 때 그리고 다음일 때 . 따라서 총 농도와 속도 비율의 비가 누락된 숙주가 기생체 상태를 침입할 수 있는지 또는 기생체 상태가 이를 밀어내는지를 결정합니다. 이것은 고정점 분석이 국소 속도 균형을 전역적 선택 예측으로 변환하는 방법의 가장 간단한 예입니다.