F(x*) = 0인 고정점 x* 근처에서 비선형 시스템 δẋ = F(x*) + J δx + ...의 동역학은 1차 테일러 전개 δẋ = J(x*) δx로 근사할 수 있습니다. 야코비 행렬 J의 성분은 J_ij = ∂/∂ 를 x*에서 평가한 값입니다. 이 선형화는 충분히 작은 섭동 δx와 비퇴화 야코비안(det )에 대해서만 유효합니다.

야코비안과 정규 모드

J의 고유값 과 고유벡터 가 정규 모드를 정의합니다. J가 대각화 가능하면, 아핀 변환 δx = P y는 선형화된 방정식을 ẏ_i = 로 분리합니다. 여기서 P는 고유벡터 행렬입니다. 각 모드는 e^{λ_i t}로 지수적으로 진화합니다.

'이 새로운 세분화를 어떻게 수행하는지는 미분방정식 (6)의 구조에서 제시됩니다. 이것은 실제로 선형 미분방정식 이론에서 잘 알려진 x-좌표계의 아핀 변환에 해당합니다. 변환된 개체군 변수 y_i 에 대한 새로운 방정식 집합을 얻으며, 이는 다음과 같습니다:'

안정성 분류

• Re 가 모든 i에 대해 성립 ⇒ 점근적으로 안정한 싱크(노드 또는 초점).
• Re 가 일부 i에 대해 성립 ⇒ 불안정한 소스 또는 안장점; 부호가 혼합되면 안장점.
• 고유값이 0이거나 순허수 ⇒ 경계 사례; 비선형 또는 제약 조건 분석이 필요합니다.

퇴화 사례와 심플렉스 제약 조건

J가 대각화 불가능하면, 조르당 블록은 지수함수에 곱해지는 t의 다항식 인자를 생성합니다. 일정한 조직 하에서 동역학은 농도 심플렉스 Σx_i = 상수 위에 놓입니다. 하나의 모드는 중립적이거나 정규화와 관련될 수 있으므로, 안정성은 접공간 또는 축소 부분공간에서 평가해야 합니다. 정규 좌표는 구조를 명확하게 드러냅니다.

한계

선형화는 국소적 거동만 예측합니다. 전역적 안정성, 극한 사이클, 호프 분기, 이종사이클, 또는 고정점에서 멀리 떨어진 침입 결과를 결정하지는 못합니다.