초순환 성장 함수는 임의로 주어지는 것이 아니라, 하나의 간결한 대상에 그 촉매 구조가 담겨 있습니다. 바로 지수 행렬P = (p_ik)입니다. n개의 종으로 이루어진 초순환에서 P는 음이 아닌 정수로 구성된 n × n 행렬입니다. 원소 p_ik 는 종 k가 종 i의 성장 함수에 기여하는 지수, 즉 분자도를 나타냅니다. 원소 p_ik = 0은 종 k가 종 i에 촉매적 영향을 주지 않음을 의미하며, 양의 값은 그 영향의 차수를 나타냅니다.

이 행렬은 일반적인 촉매 네트워크가 아닌 초순환이 되도록 하는 두 가지 구조적 제약을 받습니다. 첫째, 동차 조건 은 P의 모든 행의 합이 동일한 정수 p가 되어야 함을 요구합니다:

∑_k p_ik = p (모든 i에 대하여).

이는 모든 종이 공통된 총 성장 차수 p를 공유함을 뜻합니다. 만약 어떤 행의 합이 다른 값이 된다면 종마다 분자도가 달라지고, 성장 함수는 단일 차수에 대해 동차가 되지 않습니다. 둘째, 순환 대칭 조건은 지수를 동시에 순환적으로 재부여했을 때 P가 불변으로 유지되어야 함을 요구합니다: i → i+1, k → k+1 (mod n). 따라서 p_ik = p_i+1,k+1 (mod n)입니다. 이로 인해 P는 순환 행렬(복합적인 경우 블록 순환 행렬)이 되며, 촉매 패턴은 회전을 제외하면 모든 구성원에 대해 동일합니다.

기본 초순환과 복합 초순환

지수 행렬은 초순환을 크게 두 가지 유형으로 분류합니다.

• 기본 초순환. 가장 단순한 닫힌 순환의 경우는 일반적으로 입니다. 각 성장 함수는 해당 종 자신과 순환상 바로 앞의 종에 의존합니다. 인 경우, 행렬은 p_ii = 1이고 p_i,i-1 = 1 (지수는 mod 4)이므로 모든 행의 합은 2가 됩니다. 이 행렬은 희소 행렬로, 각 행에 정확히 두 개의 1이 있고 나머지 원소는 모두 0입니다.
• 복합 초순환. 고차 순환 구조, 예를 들어 또는 행마다 여러 개의 0이 아닌 순환 기여를 갖는 경우입니다. 이고 이면 각 행은 네 개의 단위 순환 기여를 포함할 수 있으며, 순환 대칭을 유지하면서 4차 동차 성장 함수를 만들어냅니다. 이 행렬은 더 조밀하거나(또는 더 높은 차수의 원소를 가지며) 여전히 순환 행렬입니다.

분류 기준: 기본인지 복합인지는 종의 수만이 아니라 p의 값과 P의 희소성 또는 패턴을 통해 판별됩니다. 4개 구성원으로 이루어진 순환은 기본형이 될 수도 있고 복합형이 될 수도 있습니다 , 촉매 지수에 따라 달라집니다.

아래 그림은 두 가지 행렬 유형을 대비하여 보여줍니다. 두 패널 모두에서 행의 합이 표기되어 있으며, 원형 지수 키는 P를 불변으로 유지하는 순환 재부여를 나타냅니다.