중심 고정점 x̄₀ = (c₀/n)(1,…,1)ᵀ에서, 일정한 조직화 조건 하의 초고리(hypercycle)를 선형화한 야코비 행렬은 일련의 정규 모드를 산출합니다. 이 야코비 행렬의 고윳값이 국소 동역학적 특성을 결정합니다. 결정적으로, 동일한 평형점이 순환 차원 n이 증가함에 따라 안정성 유형을 변화시킵니다:

• 다음의 경우 에서 고윳값은 실수이면서 음수이며, 다음과 같은 결과를 낳습니다: 초점 (안정적인 마디 형태의 인력).
• 다음의 경우 에서 고윳값은 음의 실수부를 갖는 복소수가 되어, 다음과 같은 결과를 낳습니다: 나선형 싱크 (궤적이 안쪽으로 나선형으로 수렴).
• 다음의 경우 에서 고윳값은 순허수가 되어, 다음과 같은 결과를 낳습니다: 중심 (중립적, 닫힌 궤도).
• 다음의 경우 에서 고정점은 다음과 같이 됩니다: 나선 성분을 가진 안장점 (일부 방향은 끌어당기고, 다른 방향은 밀어냄).

이 분류는 평형점을 이동시키지 않고도 차원만으로 질적 동역학이 어떻게 변할 수 있는지를 보여줍니다. 정규 모드는 야코비 행렬의 고유벡터에 대응하며, 그 고윳값은 섭동이 성장하는지, 감쇠하는지, 또는 진동하는지를 결정합니다.

랴푸노프 함수는 다음 차원에서 중심 고정점의 점근적 안정성을 증명합니다: , 3, 4. 다음의 경우 에서는 안장 특성이 그러한 전역적 안정성을 방해하며, 수치 적분을 통해 안정적인 극한 순환이 나타나 협력적 성장을 지속시킵니다.