Próximo de um ponto fixo x* onde F(x*) = 0, a dinâmica de um sistema não linear δẋ = F(x*) + J δx + ... pode ser aproximada pela sua expansão de Taylor de primeira ordem: δẋ = J(x*) δx. A matriz Jacobiana J tem entradas J_ij = ∂/∂ avaliada em x*. Esta linearização é válida apenas para perturbações δx suficientemente pequenas e um Jacobiano não degenerado (det ).

Jacobiano e Modos Normais

Os autovalores e autovetores de J definem os modos normais. Se J é diagonalizável, uma transformação afim δx = P y desacopla as equações linearizadas em ẏ_i = , onde P é a matriz de autovetores. Cada modo evolui exponencialmente como e^{λ_i t}.

'Como realizar esta nova subdivisão é sugerido pela estrutura das equações diferenciais (6). Corresponde, na verdade, a uma transformação afim do sistema de coordenadas x, bem conhecida da teoria das equações diferenciais lineares. Obtém-se um novo conjunto de equações para as variáveis populacionais transformadas y_i que se lê:'

Classificação de Estabilidade

• Re para todo i ⇒ poço assintoticamente estável (nó ou foco).
• Re para algum i ⇒ fonte instável ou sela; se sinais mistos, sela.
• Autovalores nulos ou puramente imaginários ⇒ caso marginal; análise não linear ou com restrições é necessária.

Casos Degenerados e Restrições do Simplexo

Se J não é diagonalizável, blocos de Jordan produzem fatores polinomiais em t multiplicando exponenciais. Sob organização constante, a dinâmica reside no simplexo de concentração Σx_i = constante. Um modo pode ser neutro ou relacionado à normalização, então a estabilidade deve ser avaliada no subespaço tangente ou reduzido. As coordenadas normais tornam a estrutura explícita.

Limitações

A linearização prevê apenas o comportamento local. Não determina estabilidade global, ciclos limite, bifurcações de Hopf, ciclos heteroclínicos ou resultados de invasão longe do ponto fixo.