Para um hiperciclo de dois membros sob organização constante, o espaço de estados é o simplex de concentração . As duas variáveis e são as concentrações dos membros do hiperciclo, e a concentração total c é mantida constante por um fluxo de diluição Φ.

Equações de Taxa e Ponto Fixo Interior

Sob a convenção de taxa padrão, a dinâmica é escrita como e . Aqui Φ é o termo de diluição ou fluxo que mantém a concentração total constante c. Um ponto fixo interior requer com , . Isso resulta em , portanto .

Combinando este equilíbrio com a restrição obtém-se o único equilíbrio de coexistência:

e .

A razão de equilíbrio é . Sob esta convenção de taxa, a maior constante catalítica efetiva recebe a maior fração de equilíbrio.

Pontos Fixos de Fronteira e Premissas

Os pontos fixos de fronteira são , e , . Estes não são estados de coexistência. O ponto fixo interior é o ponto fixo de coexistência relevante para o hiperciclo de dois membros. O cálculo assume constantes de taxa positivas, cinética de ação das massas, um sistema bem misturado e ausência de mutação, parasitas ou forçamento dependente do tempo.

Redução Algébrica e Visão da Fonte

A estrutura das equações diferenciais sugere uma transformação afim do sistema de coordenadas x, familiar da teoria das equações diferenciais lineares. Obtém-se um novo conjunto de equações para as variáveis populacionais transformadas que separa a restrição de total constante da dinâmica de abundância relativa. Esta redução torna o equilíbrio e a partição , transparentes.

Exemplo Resolvido

Normalize . Então e . Se , então e . Equivalentemente, defina e resolva para sua raiz não nula.