Вблизи неподвижной точки x*, где F(x*) = 0, динамику нелинейной системы δẋ = F(x*) + J δx + ... можно приблизить её разложением Тейлора первого порядка: δẋ = J(x*) δx. Элементы матрицы Якоби J имеют вид J_ij = ∂/∂ вычисленные в точке x*. Эта линеаризация справедлива лишь для достаточно малых возмущений δx и невырожденной матрицы Якоби (det ).

Матрица Якоби и нормальные моды

Собственные значения и собственные векторы матрицы J определяют нормальные моды. Если J диагонализируема, аффинное преобразование δx = P y расщепляет линеаризованные уравнения на ẏ_i = , где P — матрица собственных векторов. Каждая мода эволюционирует экспоненциально как e^{λ_i t}.

«Как выполнить это новое разбиение, подсказывает структура дифференциальных уравнений (6). Фактически оно соответствует аффинному преобразованию системы координат x, хорошо известному из теории линейных дифференциальных уравнений. Получается новый набор уравнений для преобразованных переменных популяции y_i который имеет вид:»

Классификация устойчивости

• Re для всех i ⇒ асимптотически устойчивый сток (узел или фокус).
• Re для некоторых i ⇒ неустойчивый источник или седло; при смешанных знаках — седло.
• Нулевые или чисто мнимые собственные значения ⇒ маргинальный случай; требуется нелинейный или ограниченный анализ.

Вырожденные случаи и ограничения симплекса

Если J не диагонализируема, жордановы блоки дают полиномиальные по t множители, умножающие экспоненты. При постоянной организации динамика лежит на симплексе концентраций Σx_i = const. Одна мода может быть нейтральной или связанной с нормировкой, поэтому устойчивость следует оценивать на касательном или приведённом подпространстве. Нормальные координаты делают структуру явной.

Ограничения

Линеаризация предсказывает лишь локальное поведение. Она не определяет глобальную устойчивость, предельные циклы, бифуркации Хопфа, гетероклинические циклы или исходы вторжения вдали от неподвижной точки.