Функции роста гиперциклов не произвольны; их каталитическая архитектура закодирована в одном компактном объекте — матрице показателейP = (p_ik). Для гиперцикла с n видами P — это матрица неотрицательных целых чисел размера n × n. Элемент p_ik задаёт показатель — или молекулярность, — с которым вид k входит в функцию роста вида i. Нулевой элемент p_ik = 0 означает, что вид k не оказывает каталитического влияния на вид i; положительное значение задаёт порядок этого влияния.

Матрица подчиняется двум структурным условиям, которые делают её гиперциклом, а не общей каталитической сетью. Во-первых, условие однородности требует, чтобы сумма каждой строки P равнялась одному и тому же целому числу p:

∑_k p_ik = p для всех i.

Это означает, что все виды имеют общую суммарную степень роста p. Если бы одна строка давала другую сумму, виды обладали бы разной молекулярностью, и функции роста не были бы однородными одной степени. Во-вторых, условие циклической симметрии требует, чтобы P оставалась инвариантной при одновременной циклической перенумерации индексов: i → i+1 и k → k+1 (mod n). Следовательно, p_ik = p_i+1,k+1 (mod n). Это делает P циркулянтной матрицей (или блочно-циркулянтной в составных случаях), поэтому каталитический паттерн одинаков для всех участников с точностью до поворота.

Элементарные и составные гиперциклы

Матрица показателей разделяет гиперциклы на два основных типа.

• Элементарный гиперцикл. Простейший замкнутый циклический случай обычно имеет . Каждая функция роста зависит от самого вида и его непосредственного циклического предшественника. Для , матрица имеет p_ii = 1 и p_i,i-1 = 1 (индексы по mod 4), поэтому сумма каждой строки равна 2. Матрица разрежённая: ровно две единицы в каждой строке, все остальные элементы нулевые.
• Составной гиперцикл. Циклическая организация более высокого порядка, например или несколько ненулевых циклических вкладов в каждой строке. Для и , каждая строка может содержать четыре единичных циклических вклада, что даёт однородные функции роста четвёртой степени при сохранении циклической симметрии. Матрица становится плотнее (или содержит элементы более высокого порядка), но остаётся циркулянтной.

Критерий классификации: принадлежность к элементарным или составным определяется значением p и разрежённостью или паттерном P, а не только числом видов. Цикл из четырёх участников может быть элементарным или составным , в зависимости от каталитических показателей.

На рисунке ниже сопоставлены два типа матриц. На обеих панелях отмечены суммы строк, а круговой ключ индексов показывает циклическую перенумерацию, оставляющую P инвариантной.