8
Бифуркация Хопфа и критическое замедление
HYC-1979Lesson 6: Concentration, Hypercycles, Fixed
00:00

В рамках гиперцикла бифуркация Хопфа отмечает переход от устойчивого стационарного распределения концентраций к устойчивым когерентным колебаниям. Линеаризация динамики гиперцикла вблизи неподвижной точки даёт собственные значения ± iω. Бифуркация Хопфа происходит, когда вещественная часть α меняет знак, проходя через нуль, так что комплексно-сопряжённая пара пересекает мнимую ось. В этой точке неподвижная точка становится негиперболической; при надкритической бифуркации Хопфа стационарное состояние теряет устойчивость и возникает устойчивый предельный цикл.

Бифуркация Хопфа и критическое замедлениеНа бифуркационной диаграмме устойчивая ветвь неподвижной точки становится пунктирной и неустойчивой в точке Хопфа, где появляется зелёная ветвь предельного цикла. На врезке показана комплексно-сопряжённая пара собственных значений, пересекающая мнимую ось, а временны́е ряды на врезках сравнивают затухающие, критически замедленные и незатухающие колебания.Бифуркация Хопфа и критическое замедлениеОт устойчивой неподвижной точки к устойчивому предельному циклу — и предвестники приближения к порогуБифуркационная диаграммауправляющий параметр μ в зависимости от амплитуды колебаний |z|амплитуда |z|управляющий параметр μточка Хопфа μcустойчивая неподвижная точканеустойчивая неподвижная точкаустойчивый предельный цикламплитуда растёт от нуляμcПлоскость комплексных собственных значенийсопряжённая пара пересекает мнимую осьRe λIm λα < 0α = 0α > 0Временны́е ряды вблизи точки Хопфаμ < μc — затухающие колебанияμ чуть ниже μc — критическое замедлениеμ > μc — незатухающие колебанияустойчивая неподвижная точканеустойчивая неподвижная точкаамплитуда предельного циклаточка Хопфа μcКритическое замедление: при приближении μ к μc, затухание исчезает, а время возврата 1/|α| расходится — растут дисперсия и автокорреляция с лагом 1.

Собственные значения и условие Хопфа

Мнимая часть ω = Im задаёт частоту зарождающихся колебаний, поэтому период вблизи порога приблизительно равен 2π/ω. Вещественная часть α определяет устойчивость: даёт устойчивый фокус с затухающими колебаниями; является точкой Хопфа; делает неподвижную точку неустойчивой, и нелинейное насыщение приводит к предельному циклу. В моделях гиперциклов такие управляющие параметры, как асимметрия констант скоростей, сила связи или уровень насыщения, позволяют переводить систему через эту бифуркацию.

Критическое замедление как ранний предвестник

При α → 0−скорость затухания самой медленной моды стремится к нулю. Малые возмущения возвращаются к неподвижной точке за всё более длительное время, что порождает длительные переходные процессы и повышенную чувствительность к шуму. В стохастических или зашумлённых концентрациях гиперцикла это проявляется в росте дисперсии и автокорреляции, которые могут служить ранними предвестниками перехода к поведению предельного цикла.

Пример
Для приведённой двухпеременной или многомерной модели гиперцикла пусть матрица Якоби в центральной неподвижной точке имеет (μ) ± iω(μ). Тогда определяет точку Хопфа. Ниже малое возмущение даёт затухающие колебания; вблизи затухание очень медленное; выше колебание нарастает, пока нелинейное насыщение не приведёт к предельному циклу.