ใกล้จุดตรึง x* โดยที่ F(x*) = 0 พลวัตของระบบไม่เชิงเส้น δẋ = F(x*) + J δx + ... สามารถประมาณได้ด้วยการกระจายเทย์เลอร์อันดับหนึ่ง: δẋ = J(x*) δx เมทริกซ์จาโคเบียน J มีสมาชิก J_ij = ∂/∂ ประเมินที่ x* การทำให้เป็นเชิงเส้นนี้ใช้ได้เฉพาะเมื่อการรบกวน δx มีขนาดเล็กเพียงพอ และจาโคเบียนไม่เสื่อม (det )

จาโคเบียนและโหมดปกติ

ค่าลักษณะเฉพาะ และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของ J กำหนดโหมดปกติ หาก J สามารถทำเป็นแนวทแยงได้ การแปลงเชิงสัมพันธ์ δx = P y จะแยกสมการเชิงเส้นออกจากกันเป็น ẏ_i = โดยที่ P คือเมทริกซ์ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ แต่ละโหมดวิวัฒนาการแบบเอกซ์โพเนนเชียลเป็น e^{λ_i t}.

'วิธีการแบ่งย่อยใหม่นี้ถูกเสนอโดยโครงสร้างของสมการเชิงอนุพันธ์ (6) แท้จริงแล้วมันสอดคล้องกับการแปลงเชิงสัมพันธ์ของระบบพิกัด x ซึ่งเป็นที่รู้จักกันดีในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น เราจะได้ชุดสมการใหม่สำหรับตัวแปรประชากรที่แปลงแล้ว y_i ซึ่งเขียนได้ว่า:'

การจำแนกเสถียรภาพ

• Re สำหรับทุก i ⇒ จุดจมที่เสถียรเชิงเส้นกำกับ (โนดหรือโฟกัส)
• Re สำหรับบาง i ⇒ จุดกำเนิดไม่เสถียรหรืออานม้า หากเครื่องหมายผสมกัน จะเป็นอานม้า
• ค่าลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์หรือเป็นจำนวนจินตภาพล้วน ⇒ กรณี marginal จำเป็นต้องวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นหรือแบบมีเงื่อนไขบังคับ

กรณีเสื่อมและเงื่อนไขบังคับซิมเพล็กซ์

หาก J ไม่สามารถทำเป็นแนวทแยงได้ บล็อกจอร์แดนจะสร้างตัวประกอบพหุนามใน t คูณกับเอกซ์โพเนนเชียล ภายใต้การจัดระเบียบแบบคงที่ พลวัตจะอยู่บนซิมเพล็กซ์ความเข้มข้น Σx_i = ค่าคงที่ โหมดหนึ่งอาจเป็นกลางหรือเกี่ยวข้องกับการปรับมาตรฐาน จึงควรประเมินเสถียรภาพบนปริภูมิสัมผัสหรือปริภูมิย่อ พิกัดปกติทำให้โครงสร้างชัดเจนขึ้น

ข้อจำกัด

การทำให้เป็นเชิงเส้นทำนายได้เฉพาะพฤติกรรมเฉพาะที่ ไม่สามารถระบุเสถียรภาพแบบทั่วโลก วงจรลิมิต การแยกสาขาแบบฮอปฟ์ วงจรเฮเทอโรคลินิก หรือผลลัพธ์การรุกรานที่ห่างจากจุดตรึงได้