ฟังก์ชันการเติบโตแบบไฮเปอร์ไซคลิกไม่ได้เป็นไปตามอำเภอใจ สถาปัตยกรรมการเร่งปฏิกิริยาของมันถูกเข้ารหัสไว้ในวัตถุขนาดกะทัดรัดเพียงหนึ่งเดียว นั่นคือ เมทริกซ์เลขชี้กำลังP = (pik) สำหรับไฮเปอร์ไซเคิลที่มีสปีชีส์จำนวน n ตัว P คือเมทริกซ์ขนาด n × n ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ค่า pik ระบุเลขชี้กำลัง—หรือภาวะโมเลกุล—ที่สปีชีส์ k มีส่วนสนับสนุนต่อฟังก์ชันการเติบโตของสปีชีส์ i ค่า p ที่เป็นศูนย์ik = 0 หมายความว่าสปีชีส์ k ไม่มีอิทธิพลในการเร่งปฏิกิริยาต่อสปีชีส์ i ส่วนค่าที่เป็นบวกจะบอกอันดับของอิทธิพลนั้น
เมทริกซ์นี้มีข้อจำกัดเชิงโครงสร้างสองประการที่ทำให้มันเป็นไฮเปอร์ไซเคิลแทนที่จะเป็นเครือข่ายการเร่งปฏิกิริยาทั่วไป ประการแรก เงื่อนไขความเป็นเอกพันธ์ กำหนดให้ทุกแถวของ P มีผลรวมเท่ากับจำนวนเต็ม p เดียวกัน:
∑k pik = p สำหรับทุก i
นั่นหมายความว่าทุกสปีชีส์มีระดับการเติบโตโดยรวม p ร่วมกัน หากแถวใดแถวหนึ่งมีผลรวมเป็นค่าอื่น สปีชีส์ก็จะมีภาวะโมเลกุลต่างกัน และฟังก์ชันการเติบโตก็จะไม่เป็นเอกพันธ์ของระดับเดียวกัน ประการที่สอง สมมาตรเชิงวัฏจักร กำหนดให้ P ต้องไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนป้ายกำกับดัชนีแบบวัฏจักรพร้อมกัน: i → i+1 และ k → k+1 (มอด n) ดังนั้น pik = pi+1,k+1 (มอด n) ซึ่งทำให้ P เป็นเมทริกซ์แบบเซอร์คิวแลนต์ (หรือบล็อก-เซอร์คิวแลนต์ในกรณีแบบประกอบ) ดังนั้นรูปแบบการเร่งปฏิกิริยาจึงเหมือนกันสำหรับทุกสมาชิกจนถึงการหมุน
ไฮเปอร์ไซเคิลแบบพื้นฐานเทียบกับแบบประกอบ
เมทริกซ์เลขชี้กำลังจำแนกไฮเปอร์ไซเคิลออกเป็นสองประเภทกว้าง ๆ
- ไฮเปอร์ไซเคิลแบบพื้นฐาน กรณีวัฏจักรปิดที่ง่ายที่สุดมักมี
ฟังก์ชันการเติบโตแต่ละฟังก์ชันขึ้นอยู่กับสปีชีส์นั้นเองและตัวก่อนหน้าเชิงวัฏจักรโดยตรง สำหรับ เมทริกซ์มี pii = 1 และ pi,i-1 = 1 (ดัชนี มอด 4) ดังนั้นทุกแถวจึงมีผลรวมเท่ากับ 2 เมทริกซ์นี้เบาบาง คือมีเลข 1 เพียงสองตัวต่อแถว โดยค่าอื่นทั้งหมดเป็นศูนย์ - ไฮเปอร์ไซเคิลแบบประกอบ โครงสร้างวัฏจักรอันดับสูง ตัวอย่างเช่น
หรือการมีส่วนสนับสนุนเชิงวัฏจักรที่ไม่เป็นศูนย์หลายค่ำต่อแถว สำหรับ และ แต่ละแถวสามารถมีการมีส่วนสนับสนุนเชิงวัฏจักรขนาดหนึ่งหน่วยได้ถึงสี่ค่า ทำให้ได้ฟังก์ชันการเติบโตเอกพันธ์ระดับกำลังสี่โดยยังคงสมมาตรเชิงวัฏจักรไว้ เมทริกซ์จะแน่นขึ้น (หรือมีค่าอันดับสูงกว่า) แต่ยังคงเป็นแบบเซอร์คิวแลนต์
เกณฑ์การจำแนก: การเป็นแบบพื้นฐานหรือแบบประกอบนั้นอ่านได้จากค่า p และความเบาบางหรือรูปแบบของ P ไม่ใช่เพียงจากจำนวนสปีชีส์ วัฏจักรที่มีสี่สมาชิกสามารถเป็นแบบพื้นฐาน
ภาพด้านล่างเปรียบเทียบเมทริกซ์ทั้งสองประเภท ในทั้งสองแผงจะมีการกำกับผลรวมของแถว และแผนผังดัชนีแบบวงกลมแสดงการเปลี่ยนป้ายกำกับเชิงวัฏจักรที่ทำให้ P ไม่เปลี่ยนแปลง
เมทริกซ์เลขชี้กำลังและการจำแนกไฮเปอร์ไซเคิลเมทริกซ์เลขชี้กำลัง P ขนาด 4×4 วางเคียงกันสำหรับไฮเปอร์ไซเคิลแบบพื้นฐานและไฮเปอร์ไซเคิลแบบประกอบ ในเมทริกซ์แบบพื้นฐาน แต่ละแถวมีค่าบวกขนาดหนึ่งหน่วยสองค่า (ตัวเองและตัวก่อนหน้าเชิงวัฏจักร) ดังนั้นทุกแถวจึงมีผลรวมเท่ากับ 2 ในเมทริกซ์แบบประกอบ ทุกค่าเป็น 1 ดังนั้นแต่ละแถวจึงมีผลรวมเท่ากับ 4 และฟังก์ชันการเติบโตเป็นระดับกำลังสี่ เมทริกซ์ทั้งสองเป็นแบบเซอร์คิวแลนต์ สะท้อนสมมาตรเชิงวัฏจักรภายใต้ i → i+1 (มอด n)
