Trong các mô hình siêu chu trình và chọn lọc tổ chức không đổi, không gian trạng thái của nồng độ là đơn hình nồng độ bất biến = {xᵢ ≥ 0, Σᵢ xᵢ = c₀} (hoặc phiên bản chuẩn hóa với Σᵢ xᵢ = 1). Điểm bất động là một phân bố nồng độ dừng thỏa mãn ẋᵢ = 0 với , 2, ..., n. Tại điểm như vậy, sản xuất/khuếch đại cân bằng chính xác với phân hủy, pha loãng và dòng chảy ra đối với mỗi loài. Phân tích điểm bất động trong đơn hình so sánh các kết cục chọn lọc bằng cách định vị các trạng thái dừng rồi phân loại tính ổn định của chúng: các đỉnh và mặt tương ứng với các trạng thái thuần khiết hoặc rút gọn, các điểm trong biểu diễn sự cùng tồn tại, và mỗi điểm có thể là điểm hút, điểm yên ngựa hoặc điểm nguồn.

Các mặt biên là bất biến khi các loài vắng mặt vẫn vắng mặt: nếu xᵢ = 0, động lực học giữ nguyên xᵢ = 0. Một đỉnh của do đó là một điểm bất động thuần khiết mà ở đó một loài hoặc một đơn vị liên kết chiếm ưu thế; trong các hệ siêu chu trình, những đỉnh như vậy thường biểu diễn các kết cục bị sụp đổ hoặc phi siêu chu trình. Các điểm bất động trên cạnh và trên mặt là điểm bất động của các đơn hình con, chỉ với một tập hợp con các loài hiện diện. Chúng thiết yếu cho việc phân tích chọn lọc giữa các tập con và để kiểm tra sự xâm nhập của các thành viên còn thiếu. Một điểm bất động bên trong có tất cả n thành viên dương và biểu diễn sự cùng tồn tại; đối với một siêu chu trình, điểm bên trong đối xứng là trạng thái mạch lạc ứng viên.

Tính ổn định và kết cục chọn lọc

Chỉ một điểm bất động không quyết định kết cục. Tính ổn định cục bộ đòi hỏi tuyến tính hóa: ma trận Jacobian J với các phần tử Jᵢⱼ = ∂ẋᵢ/∂xⱼ được đánh giá tại điểm bất động. Các giá trị riêng của J (giới hạn trong không gian tiếp xúc của đơn hình) phân loại điểm đó là điểm hút (mọi giá trị riêng liên quan đều âm: các quỹ đạo gần đó hội tụ), điểm nguồn (mọi giá trị riêng liên quan đều dương: các quỹ đạo phân kỳ), hoặc điểm yên ngựa (một số hướng hút, số khác đẩy). Kết cục toàn cục còn phụ thuộc vào các bể hút và dòng chảy dọc theo các biên. Việc so sánh các điểm bất động theo tính ổn định và kích thước bể hút dự đoán liệu hệ thể hiện sự loại trừ, cùng tồn tại một phần hay sự tồn tại siêu chu trình đầy đủ.

Đối với một hệ ký sinh–vật chủ hai thành phần trong S₂, các phương trình là

, , .

Hệ có hai điểm bất động ở đỉnh trong S₂: trạng thái toàn ký sinh (, ) và trạng thái toàn vật chủ (, ). Tuyến tính hóa gần nền ký sinh cho một ngưỡng tại : nồng độ vật chủ thỏa mãn khi và khi . Do đó, tỷ số giữa nồng độ tổng và tỷ số tốc độ quyết định liệu vật chủ còn thiếu có thể xâm nhập trạng thái ký sinh hay liệu trạng thái ký sinh có đẩy nó ra hay không. Đây là ví dụ đơn giản nhất về cách phân tích điểm bất động chuyển các cân bằng tốc độ cục bộ thành một dự đoán chọn lọc toàn cục.