Gần điểm cố định x* với F(x*) = 0, động lực của một hệ phi tuyến δẋ = F(x*) + J δx + ... có thể được xấp xỉ bằng khai triển Taylor bậc nhất: δẋ = J(x*) δx. Ma trận Jacobian J có các phần tử J_ij = ∂/∂ được đánh giá tại x*. Phép tuyến tính hóa này chỉ hợp lệ với các nhiễu loạn δx đủ nhỏ và ma trận Jacobian không suy biến (det ).

Ma trận Jacobian và các mode chuẩn

Các trị riêng và các vector riêng của J xác định các mode chuẩn. Nếu J chéo hóa được, phép biến đổi affine δx = P y tách các phương trình đã tuyến tính hóa thành ẏ_i = , trong đó P là ma trận các vector riêng. Mỗi mode tiến hóa theo hàm mũ dưới dạng e^{λ_i t}.

'Cách thực hiện sự phân chia mới này được gợi ý bởi cấu trúc của các phương trình vi phân (6). Thực ra nó tương ứng với một phép biến đổi affine của hệ tọa độ x, vốn quen thuộc trong lý thuyết phương trình vi phân tuyến tính. Ta thu được một hệ phương trình mới cho các biến quần thể được biến đổi y_i được viết như sau:'

Phân loại ổn định

• Re với mọi i ⇒ điểm hút ổn định tiệm cận (nút hoặc tiêu điểm).
• Re với một số i ⇒ điểm nguồn bất ổn hoặc yên ngựa; nếu dấu hỗn hợp, là yên ngựa.
• Trị riêng bằng không hoặc thuần ảo ⇒ trường hợp biên; cần phân tích phi tuyến hoặc có ràng buộc.

Các trường hợp suy biến và ràng buộc đơn hình

Nếu J không chéo hóa được, các khối Jordan tạo ra các nhân tử đa thức theo t nhân với hàm mũ. Trong điều kiện tổ chức không đổi, động lực nằm trên đơn hình nồng độ Σx_i = hằng số. Một mode có thể là trung tính hoặc liên quan đến chuẩn hóa, nên cần đánh giá ổn định trên không gian tiếp tuyến hoặc không gian rút gọn. Các tọa độ chuẩn giúp cấu trúc trở nên rõ ràng.

Hạn chế

Tuyến tính hóa chỉ dự đoán hành vi cục bộ. Nó không xác định được ổn định toàn cục, chu trình giới hạn, phân nhánh Hopf, chu trình dị hướng, hay kết quả xâm nhập ở xa điểm cố định.