Trong điều kiện tổ chức không đổi tổng nồng độ của siêu chu trình được giữ ở giá trị cố định c₀, do đó mọi trạng thái khả dĩ đều nằm trên đơn hình nồng độ + … + . Một trạng thái trên đơn hình đó là một điểm bất động khi và chỉ khi điều kiện dừng dxᵢ/dt = 0 đồng thời đúng với mọi thành viên , …, n. Chỉ riêng ràng buộc đơn hình chỉ cho biết những trạng thái nào là khả dĩ — chính việc mọi tốc độ sinh trưởng đều triệt tiêu mới chọn ra các điểm cân bằng trong số đó.

Áp đặt điều kiện này lên một siêu chu trình n thành viên cho ra một tập điểm bất động đơn giản đến bất ngờ. Điểm bất động trung tâm là x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ, nên mỗi loài trong số n loài đều mang cùng nồng độ c₀/n và n phần này cộng lại đúng bằng c₀. Vì mọi tọa độ đều bằng nhau, điểm này nằm ở phần trong của đơn hình và có tính đối xứng hoán vị: việc đổi nhãn các loài trong chu trình không làm thay đổi nó. Đây là điểm cân bằng của sự hợp tác toàn phần — không thành viên nào được ưu ái hơn thành viên nào.

Một điểm trung tâm và n điểm góc

• Điểm bất động trung tâm: x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ — một điểm cân bằng có nồng độ bằng nhau, đối xứng hoán vị, nằm ở phần trong của đơn hình, nơi mọi thành viên cùng tồn tại.
• n điểm bất động góc: một điểm cho mỗi thành viên, với loài đó ở nồng độ c₀ và mọi loài còn lại đều bằng không. Về nguyên tắc, mỗi loài đều có thể là kẻ sống sót duy nhất.
• Các góc là những trạng thái thuần: chúng nằm tại các đỉnh của đơn hình, nên chúng mô tả một loài thống trị duy nhất thay vì một quần thể hợp tác, gắn kết.

Ví dụ minh họa:

Với một siêu chu trình ba thành viên, đơn hình nồng độ là một tam giác. Điểm bất động trung tâm là (c₀/3, c₀/3, c₀/3), và ba điểm bất động góc là (c₀, 0, 0), (0, c₀, 0) và (0, 0, c₀). Do đó, tập điểm bất động liên quan đến bước này gồm một điểm cân bằng trung tâm có nồng độ bằng nhau cộng với n điểm cân bằng góc trạng thái thuần — tổng cộng 1 + n điểm, trong ví dụ này là bốn điểm. Lưu ý rằng sự tồn tại của các góc là hiển nhiên từ tính đối xứng của hệ; việc điểm nằm trong có thực sự hút các quỹ đạo hay không còn phụ thuộc vào n và các mode chuẩn của hệ, được phân tích như một bước riêng.