Điểm bất động trung tâm của một siêu chu trình có thể được chứng nhận là ổn định tiệm cận mà không cần giải toàn bộ hệ phi tuyến, bằng cách chỉ ra một hàm Lyapunov V(x) triệt tiêu tại điểm cân bằng, luôn dương ngặt ở mọi nơi khác, và giảm đều dọc theo mọi quỹ đạo mà hệ có thể đi theo.

Tiêu chuẩn Lyapunov

Một hàm V(x) được coi là hàm Lyapunov cho điểm bất động trung tâm x̂ khi V(x̂) = 0 và V(x) > 0 với mọi ̂. Nếu thêm vào đó, V giảm dọc theo quỹ đạo (dV/dt < 0), thì mọi quỹ đạo lân cận đều bị hút về phía x̂ và điểm bất động là ổn định tiệm cận. Phép kiểm tra này mang tính định tính: chỉ dấu của sự thay đổi là quan trọng, chứ không cần nghiệm dạng đóng tường minh của động lực học.

Tính ổn định với , 3 và 4

Với các siêu chu trình nhỏ có số chiều , 3 và 4, có thể xây dựng tường minh một hàm Lyapunov phù hợp, và nó chứng minh rằng điểm bất động trung tâm x̄₀ = (c₀/n)(1, …, 1)ᵀ là ổn định tiệm cận. Điều này bổ sung cho bức tranh mode chuẩn tắc, trong đó điểm cân bằng thay đổi tính chất theo số chiều — một tiêu điểm tại , một điểm xoáy hút tại , một tâm tại — và nâng cấp một mô tả cục bộ thành một phát biểu ổn định toàn cục.

Siêu chu trình bị phá vỡ và các hệ con bất biến

Nếu một liên kết xúc tác bị phá vỡ, mạng lưới không còn khép kín thành một chu trình tự củng cố nữa. Thay vào đó, nó phân hoạch thành các hệ con bất biến toàn cục: các tập hợp loài mà động lực học của chúng không bao giờ rò rỉ sang phần còn lại của hệ. Vì các quỹ đạo bị giữ lại bên trong chúng, mỗi hệ con có thể được phân tích độc lập.

• cạnh 2A — một cạnh động truyền ảnh hưởng xúc tác.
• cạnh 2B — một cạnh điểm bất động lắng về trạng thái nghỉ.
• mặt 3A — một hệ con hai chiều bao trùm các thành viên còn lại.

Việc nghiên cứu các đối tượng có số chiều thấp hơn này khôi phục dần từng phần tính ổn định và hành vi chọn lọc của chu trình bị phá vỡ, đồng thời liên kết phân tích Lyapunov của các siêu chu trình nguyên vẹn với sự phân rã động lực học của các siêu chu trình bị phá vỡ.