在满足 F(x*) = 0 的不动点 x* 附近，非线性系统 δẋ = F(x*) + J δx + ... 的动力学可用其一阶泰勒展开近似表示：δẋ = J(x*) δx。雅可比矩阵 J 的元素为 J_ij = ∂/∂ 在 x* 处的取值。该线性化仅在扰动 δx 足够小且雅可比矩阵非退化（det ）时才成立。

雅可比矩阵与简正模

特征值 和特征向量 定义了简正模。若 J 可对角化，仿射变换 δx = P y 可将线性化方程解耦为 ẏ_i = ，其中 P 为特征向量矩阵。每个模按 e^{λ_i t} 呈指数演化。

“如何进行这种新的划分可由微分方程 (6) 的结构得到启示。它实际上对应于 x 坐标系的一种仿射变换，这在线性微分方程理论中广为人知。对于变换后的种群变量 y_i 可得到一组新方程，其形式为：”

稳定性分类

• Re 对所有 i 成立 ⇒ 渐近稳定汇（结点或焦点）。
• Re 对某些 i 成立 ⇒ 不稳定源或鞍点；若符号混合，则为鞍点。
• 特征值为零或纯虚数 ⇒ 临界情形；需要非线性分析或受约束分析。

退化情形与单纯形约束

若 J 不可对角化，约当块会产生 t 的多项式因子与指数项相乘。在恒定组织条件下，动力学位于浓度单纯形 Σx_i = 常数上。其中一个模可能是中性模或与归一化相关，因此应在切子空间或约化子空间上评估稳定性。简正坐标使结构更加清晰。

局限性

线性化只能预测局部行为。它无法确定全局稳定性、极限环、Hopf 分岔、异宿环，或在远离不动点处的入侵结果。