在滿足 F(x*) = 0 的固定點 x* 附近，非線性系統 δẋ = F(x*) + J δx + ... 的動態可由其一階泰勒展開式近似：δẋ = J(x*) δx。雅可比矩陣 J 的元素為 J_ij = ∂/∂ 在 x* 處取值。此線性化僅在擾動 δx 足夠小且雅可比矩陣非退化（det ）時才成立。

雅可比矩陣與簡正模

J 的特徵值 與特徵向量 定義了簡正模。若 J 可對角化，則仿射變換 δx = P y 可將線性化方程解耦為 ẏ_i = ，其中 P 為特徵向量矩陣。每個模以 e^{λ_i t} 的形式呈指數演化。

「如何進行這種新的細分，可由微分方程組 (6) 的結構得知。它實際上對應於 x 座標系統的仿射變換，這在線性微分方程理論中是眾所周知的。由此可得到關於變換後族群變數 y_i 的一組新方程，其形式如下：」

穩定性分類

• Re 對所有 i 成立 ⇒ 漸近穩定匯點（節點或焦點）。
• Re 對某些 i 成立 ⇒ 不穩定源點或鞍點；若正負號混合，則為鞍點。
• 特徵值為零或純虛數 ⇒ 臨界情形；需要進行非線性或受約束的分析。

退化情形與單形約束

若 J 不可對角化，約當塊會產生乘以指數函數的 t 多項式因子。在恆定組織下，動態位於濃度單形 Σx_i = 常數 上。其中一個模可能是中性模或與正規化相關，因此應在切空間或降維子空間上評估穩定性。簡正座標使該結構更加明確。

局限性

線性化僅能預測局部行為。它無法確定全局穩定性、極限環、Hopf 分岔、異宿環，或遠離固定點的入侵結果。