การเพิ่มประสิทธิภาพแบบโค้งเว้า

หลักสูตรระดับปริญญาเอกที่ครอบคลุมและลึกซึ้งเกี่ยวกับทฤษฎี แอปพลิเคชัน และอัลกอริธึมเชิงตัวเลขของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพแบบเว้า (Convex Optimization) โดยเน้นการรู้จำและตั้งรูปแบบปัญหาเว้าในวิศวกรรมและศาสตร์ต่างๆ

เรียนรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์และอัลกอริธึมเชิงปฏิบัติของการเพิ่มประสิทธิภาพแบบเว้า เพื่อนำไปใช้ในงานด้านวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ข้อมูล

ผู้เขียน: สเตฟาน โบลด์, ไลเวิน แวนเดนเบิร์กเฮ

คำขอบคุณ: ได้รับการสนับสนุนจากองค์กรสนับสนุนการวิจัยแห่งชาติ (NSF) และจากความร่วมมือของนักศึกษาและเพื่อนร่วมงานที่มหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ดและยูซีแอลเอ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อาคัดี เนมิโรฟสกี และ กิชัน บาเฮตี

1. นิยามองค์ประกอบของปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพเชิงคณิตศาสตร์ ได้แก่ ฟังก์ชันเป้าหมาย ข้อจำกัด และตัวแปร
2. แยกแยะระหว่างปัญหาการหาค่าต่ำสุดกำลังสอง (Least-squares), การโปรแกรมเชิงเส้น (Linear Programming), และการเพิ่มประสิทธิภาพแบบเว้า ตามลักษณะทางคณิตศาสตร์ของแต่ละประเภท
3. เปรียบเทียบกลยุทธ์การเพิ่มประสิทธิภาพแบบท้องถิ่น (Local) และแบบทั่วไป (Global) และประเมินความซับซ้อนทางการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับแต่ละแนวทาง
4. นิยามและแยกแยะชุดเชิงเส้น (Affine sets), ชุดเว้า (Convex sets), และทรงกรวย (Cones) โดยใช้สัญลักษณ์เชิงรวมทางคณิตศาสตร์
5. ระบุและแสดงชุดเว้ามาตรฐาน เช่น ลูกบอลยูคลิด (Euclidean balls), รูปไข่ (Ellipsoids), พหุภาค (Polyhedra), และทรงกรวยเชิงบวก-กึ่งแน่นอน (Positive semidefinite cone)
6. ประยุกต์ใช้การดำเนินการที่คงความเว้า เช่น การตัดกัน การแปลงเชิงเส้น และฟังก์ชันพิสท์ (Perspective functions) เพื่อยืนยันคุณสมบัติของชุด
7. ระบุและประยุกต์ใช้การดำเนินการที่คงความเว้า เช่น การรวมกันแบบจุดต่อจุดของฟังก์ชันเชิงเส้น และกฎการประกอบเวกเตอร์
8. หาฟังก์ชันคอนจูเกตของลากรังจ์ (Lagrange conjugate) ของฟังก์ชันต่างๆ และนำไปใช้กับอสมการยัง (Young's inequality)
9. อธิบายลักษณะของความเว้าเชิงไม่ชัดเจน (Quasiconvexity) โดยใช้เซตระดับต่ำ (Sublevel sets) และเงื่อนไขอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่ง/สอง
10. ตั้งรูปและเปลี่ยนรูป: แปลงปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพจากสถานะดิบให้อยู่ในรูปมาตรฐานแบบเว้า โดยใช้ตัวแปรเสริม (slack variables) และการกำจัดข้อจำกัด